реши номер 89.

Ответ:
а) \(x=\pm 1\);
б) \(x=\pm 2\).

Ниже — подробно, почему это так.

---

Главная идея

В обоих уравнениях \(x\) встречается только через \(x^2\). Поэтому удобно сделать замену

\[ t=x^2. \]

Важно помнить:

\[ t\ge 0, \]

потому что квадрат числа не бывает отрицательным.

После нахождения \(t\) нужно вернуться к \(x\):

• если \(t>0\), то \(x^2=t\) даёт два корня: \(x=\sqrt t\) и \(x=-\sqrt t\);
• если \(t=0\), то \(x=0\).

---

а) \(x^6+2x^4+3x^2=6\)

Так как

\[ x^6=(x^2)^3=t^3,\qquad x^4=(x^2)^2=t^2,\qquad x^2=t, \]

получаем:

\[ t^3+2t^2+3t=6. \]

Перенесём 6 влево:

\[ t^3+2t^2+3t-6=0. \]

Заметим, что \(t=1\) подходит:

\[ 1^3+2\cdot1^2+3\cdot1-6=1+2+3-6=0. \]

Значит, левую часть можно разложить на множители:

\[ t^3+2t^2+3t-6=(t-1)(t^2+3t+6). \]

Проверим второй множитель. У уравнения

\[ t^2+3t+6=0 \]

дискриминант:

\[ D=3^2-4\cdot1\cdot6=9-24=-15<0. \]

Значит, квадратный трёхчлен \(t^2+3t+6\) не имеет действительных корней и всегда положителен. Поэтому остаётся только

\[ t=1. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ x^2=1 \quad\Rightarrow\quad x=1 \text{ или } x=-1. \]

То есть

\[ \boxed{x=\pm1}. \]

Оба корня подходят, потому что в исходном уравнении стоят только чётные степени \(x\), а \((-1)^2=1\), \((-1)^4=1\), \((-1)^6=1\).

---

б) \(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{2x^2+1}=6\)

Снова обозначаем

\[ t=x^2,\qquad t\ge0. \]

Тогда

\[ \sqrt{t+5}+\sqrt{2t+1}=6. \]

Рассмотрим функцию

\[ f(t)=\sqrt{t+5}+\sqrt{2t+1}. \]

При \(t\ge0\) она строго возрастает: с увеличением \(t\) увеличиваются оба подкоренных выражения, а значит, и оба корня. Можно проверить и через производную:

\[ f'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t+5}}+\frac{1}{\sqrt{2t+1}}>0. \]

Значит, уравнение \(f(t)=6\) может иметь не больше одного корня.

Подберём его. Проверим \(t=4\):

\[ f(4)=\sqrt{4+5}+\sqrt{2\cdot4+1} =\sqrt9+\sqrt9 =3+3=6. \]

Подходит. А поскольку функция строго возрастает, других значений \(t\) быть не может.

Значит,

\[ t=4. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=2 \text{ или } x=-2. \]

То есть

\[ \boxed{x=\pm2}. \]

Проверка для \(x=2\):

\[ \sqrt{4+5}+\sqrt{8+1}=\sqrt9+\sqrt9=3+3=6. \]

Для \(x=-2\) получается то же самое, потому что \(-2\) в квадрате равно \(4\).

---

Другой способ для пункта б), без производной

Можно решить и возведением в квадрат:

\[ \sqrt{t+5}+\sqrt{2t+1}=6. \]

Перенесём один корень:

\[ \sqrt{t+5}=6-\sqrt{2t+1}. \]

Возводим в квадрат:

\[ t+5=36-12\sqrt{2t+1}+2t+1. \]

Упрощаем:

\[ 12\sqrt{2t+1}=t+32. \]

Ещё раз возводим в квадрат:

\[ 144(2t+1)=(t+32)^2. \]

Получаем:

\[ 288t+144=t^2+64t+1024, \]

\[ t^2-224t+880=0. \]

Корни:

\[ t=4 \quad\text{или}\quad t=220. \]

Но \(t=220\) не подходит исходному уравнению: при \(t=220\) сумма корней равна \(15+21=36\), а не \(6\). Это посторонний корень, появившийся после возведения в квадрат.

Остаётся

\[ t=4, \]

откуда

\[ x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2. \]

Итог:
а) \(\boxed{x=\pm1}\);
б) \(\boxed{x=\pm2}\).

Ты прав, что здесь легко запутаться. Уточню: 6 — это не то, что мы «вывели», а число из самого условия.

Исходное уравнение:

\[ \sqrt{x^2+5}+\sqrt{2x^2+1}=6. \]

Справа уже стоит \(6\). После замены

\[ t=x^2,\qquad t\ge 0 \]

получаем:

\[ \sqrt{t+5}+\sqrt{2t+1}=6. \]

Обозначим левую часть через \(f(t)\):

\[ f(t)=\sqrt{t+5}+\sqrt{2t+1}. \]

Тогда уравнение можно записать так:

\[ f(t)=6. \]

То есть нам нужно найти такое \(t\ge0\), при котором значение функции \(f(t)\) равно именно 6. Это уравнение, а не тождество: не при всех \(t\) функция равна 6, а только при некоторых.

Теперь проверяем \(t=4\):

\[ f(4)=\sqrt{4+5}+\sqrt{2\cdot4+1} =\sqrt9+\sqrt9=3+3=6. \]

Значит, \(t=4\) подходит.

Почему других \(t\) нет? Функция

\[ f(t)=\sqrt{t+5}+\sqrt{2t+1} \]

при \(t\ge0\) строго возрастает. Если \(t<4\), то \(f(t)<6\), а если \(t>4\), то \(f(t)>6\). Поэтому значение \(6\) достигается только один раз — при \(t=4\).

Дальше возвращаемся к \(x\):

\[ t=x^2=4, \]

\[ x^2=4, \]

\[ x=\pm2. \]

Итог:
\[ \boxed{x=\pm2} \]

То есть \(6\) — это правая часть исходного уравнения, а \(t=4\) — уже найденное значение \(x^2\).

Да, ты прав: 6 — это правая часть условия не только в (б), но и в (а). Разберём именно пункт а).

Исходное уравнение:

\[ x^6+2x^4+3x^2=6. \]

Заменяем:

\[ t=x^2,\qquad t\ge 0. \]

Тогда

\[ x^6=t^3,\qquad x^4=t^2,\qquad x^2=t. \]

Получаем:

\[ t^3+2t^2+3t=6. \]

Вот здесь \(6\) — не результат вывода, а число из исходного уравнения. Нам нужно найти такое \(t\ge0\), при котором левая часть равна 6.

Перенесём всё влево:

\[ t^3+2t^2+3t-6=0. \]

Проверяем \(t=1\):

\[ 1^3+2\cdot1^2+3\cdot1-6=1+2+3-6=0. \]

Значит, \(t=1\) подходит.

Разложим на множители:

\[ t^3+2t^2+3t-6=(t-1)(t^2+3t+6). \]

У квадратного трёхчлена

\[ t^2+3t+6 \]

дискриминант:

\[ D=9-24=-15<0. \]

Значит, действительных корней у него нет, и он всегда положителен. Поэтому единственный корень:

\[ t=1. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ x^2=1, \]

\[ x=\pm1. \]

Ответ пункта а):

\[ \boxed{x=\pm1} \]

То есть логика такая: \(t=x^2\), и мы ищем \(t\), при котором

\[ t^3+2t^2+3t \]

действительно равно \(6\). Это равенство выполняется только при \(t=1\), то есть при \(x^2=1\).

Ты правильно цепляешься к слову «подберём»: в хорошем решении это надо не «угадать», а обосновать. Покажу, откуда берётся \(t=1\).

После замены \(t=x^2\) получаем:

\[ t^3+2t^2+3t=6, \]

то есть

\[ t^3+2t^2+3t-6=0. \]

Обозначим левую часть:

\[ P(t)=t^3+2t^2+3t-6. \]

Почему \(t=1\) — корень?

Посмотрим на коэффициенты:

\[ 1+2+3-6=0. \]

Для многочлена \(P(t)\) это означает, что \(P(1)=0\), потому что при \(t=1\) каждый одночлен равен своему коэффициенту:

\[ P(1)=1^3+2\cdot1^2+3\cdot1-6=1+2+3-6=0. \]

То есть \(t=1\) — не случайное число, а корень, который находится по сумме коэффициентов.

Как это же получается разложением

Можно даже не «подбирать»:

\[ t^3+2t^2+3t-6 \]

запишем так, потому что \(6=1+2+3\):

\[ t^3+2t^2+3t-6 =(t^3-1)+2(t^2-1)+3(t-1). \]

Каждая скобка делится на \(t-1\):

\[ t^3-1=(t-1)(t^2+t+1), \]

\[ t^2-1=(t-1)(t+1). \]

Тогда

\[ (t^3-1)+2(t^2-1)+3(t-1) =(t-1)(t^2+3t+6). \]

Значит,

\[ t^3+2t^2+3t-6=(t-1)(t^2+3t+6). \]

Почему других корней нет?

\[ (t-1)(t^2+3t+6)=0. \]

Уравнение \(t^2+3t+6=0\) не имеет действительных корней, потому что

\[ D=3^2-4\cdot1\cdot6=9-24=-15<0. \]

Поэтому возможен только один корень:

\[ t-1=0 \quad\Rightarrow\quad t=1. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ t=x^2=1, \]

\[ x=\pm1. \]

Ответ пункта а):

\[ \boxed{x=\pm1} \]

То есть \(t=1\) — не «взяли с потолка»: это корень, который виден из суммы коэффициентов, а разложение на множители доказывает, что других действительных корней нет.