Реши задание на изображении
На фото видны два номера — 98 и 99. Решу оба.
Краткий ответ
№ 98:
а) \(\triangle ABC=\triangle EBD\) по двум сторонам и углу между ними;
б) \(\angle A=42^\circ,\ \angle C=47^\circ\).
№ 99:
а) \(\triangle ABD=\triangle ACD\) по двум сторонам и углу между ними;
б) \(BD=5\) см, \(AB=15\) см.
№ 98
Дано: отрезки \(AE\) и \(DC\) пересекаются в точке \(B\), и \(B\) — середина каждого из них.
а) Доказательство
Так как \(B\) — середина \(AE\), то \[ AB=BE. \] Так как \(B\) — середина \(DC\), то \[ BC=BD. \]
Углы \(\angle ABC\) и \(\angle EBD\) вертикальные, значит, \[ \angle ABC=\angle EBD. \]
Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle ABC=\triangle EBD. \]
б) Находим углы
Из равенства треугольников соответствующие элементы равны. При записи \[ \triangle ABC=\triangle EBD \] вершина \(A\) соответствует \(E\), а \(C\) соответствует \(D\). Поэтому \[ \angle A=\angle E=42^\circ, \] \[ \angle C=\angle D=47^\circ. \]
Ответ: \(\angle A=42^\circ,\ \angle C=47^\circ\).
Проверка: в \(\triangle BDE\) \[ \angle B=180^\circ-47^\circ-42^\circ=91^\circ, \] и в \(\triangle ABC\) сумма углов тоже \(42^\circ+91^\circ+47^\circ=180^\circ\).
№ 99
По рисунку 58: \[ \angle 1=\angle BAD,\qquad \angle 2=\angle CAD. \]
а) Доказательство
Рассмотрим \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\).
- \(AB=AC\) — по условию.
- \(AD\) — общая сторона.
- \(\angle BAD=\angle CAD\) — по условию \(\angle1=\angle2\).
Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle ABD=\triangle ACD. \]
б) Находим стороны
Из равенства треугольников соответствующие стороны равны: \[ BD=CD. \] Дано \(DC=5\) см, поэтому \[ BD=5\text{ см}. \]
Также \[ AB=AC. \] Дано \(AC=15\) см, значит, \[ AB=15\text{ см}. \]
Ответ: \(BD=5\) см, \(AB=15\) см.
Главный принцип: сначала доказываем равенство треугольников, а потом переносим равенство нужных сторон или углов по соответствующим вершинам.
