Решите неравство
Кратко:
\[
x^2-7x+6>0 \quad\Longrightarrow\quad x\in(-\infty;1)\cup(6;+\infty).
\]
Решение:
Найдём корни уравнения \[ x^2-7x+6=0. \] Дискриминант: \[ D=(-7)^2-4\cdot1\cdot6=49-24=25. \] Тогда \[ x_{1,2}=\frac{7\pm5}{2}, \] то есть \[ x_1=1,\qquad x_2=6. \]
Можно разложить на множители: \[ x^2-7x+6=(x-1)(x-6). \]
Парабола \(y=x^2-7x+6\) направлена ветвями вверх и пересекает ось \(x\) в точках \(1\) и \(6\). Значит, она положительна вне отрезка между корнями: \[ x<1 \quad\text{или}\quad x>6. \]
Так как неравенство строгое, сами точки \(1\) и \(6\) не включаются.
Проверка:
при \(x=0\): \(0-0+6=6>0\) — подходит;
при \(x=3\): \(9-21+6=-6>0\) — неверно;
при \(x=7\): \(49-49+6=6>0\) — подходит.
Ответ: \[ \boxed{x\in(-\infty;1)\cup(6;+\infty)} \]
Обсуждение
4 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Понял, давай разберём именно этот момент.
В неравенстве
\[
x^2-7x+6>0
\]
\(x\) — это переменная, то есть неизвестное число, которое мы можем подставлять. Мы не «добавляем» \(x\), он уже есть в самом выражении.
Сначала мы решили уравнение
\[
x^2-7x+6=0.
\]
Его корни:
\[
x_1=1,\qquad x_2=6.
\]
Это значит, что выражение \(x^2-7x+6\) обращается в ноль при \(x=1\) и при \(x=6\). Поэтому его можно записать через множители:
\[ x^2-7x+6=(x-1)(x-6). \]
Почему это верно? Раскроем скобки обратно:
\[ (x-1)(x-6)=x(x-6)-1(x-6)=x^2-6x-x+6=x^2-7x+6. \]
Получилось исходное выражение. Значит, запись через скобки — это просто другой вид того же самого.
Можно показать и через группировку:
\[ x^2-7x+6=x^2-x-6x+6= \] \[ =x(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x-6). \]
Теперь неравенство превращается в
\[ (x-1)(x-6)>0. \]
Произведение двух множителей положительно, если они одного знака:
оба отрицательны:
\[ x-1<0 \quad\text{и}\quad x-6<0 \Rightarrow x<1; \]оба положительны:
\[ x-1>0 \quad\text{и}\quad x-6>0 \Rightarrow x>6. \]
А между \(1\) и \(6\), например при \(x=3\), один множитель положительный, другой отрицательный, поэтому произведение отрицательно — это нам не подходит.
Точки \(1\) и \(6\) не включаем, потому что неравенство строгое: там произведение равно нулю, а нужно \(>0\).
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;1)\cup(6;+\infty)} \]
Дай мне вот такой решение я должна так решать
Да, оформим по той же схеме — через параболу. Для ранее решённого неравенства:
\[ x^2-7x+6>0 \]
Решение.
Рассмотрим функцию
\[ y=x^2-7x+6. \]
Её график — парабола, ветви направлены вверх, так как коэффициент перед \(x^2\) равен \(1>0\).
Найдём нули функции:
\[ x^2-7x+6=0 \]
\[ D=(-7)^2-4\cdot1\cdot6=49-24=25 \]
\[ x_{1,2}=\frac{7\pm5}{2} \]
\[ x_1=1,\qquad x_2=6 \]
Отмечаем точки \(1\) и \(6\) на оси \(Ox\). Они выколотые, потому что неравенство строгое: \(>0\).
Схематично:
\[ \begin{array}{c} +\qquad\qquad - \qquad\qquad +\\ \hline \circ\;\;1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\circ\;\;6 \end{array} \]
Парабола выше оси \(Ox\) на промежутках:
\[ x<1 \quad\text{или}\quad x>6. \]
Значит, ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;1)\cup(6;+\infty)} \]
Если нужно, чтобы я оформил так же другое неравенство, просто пришли его условие.
