415

Краткий ответ:
а) \(\frac13\sqrt{351}<\frac12\sqrt{188}\);
б) \(\frac13\sqrt{54}=\frac15\sqrt{150}\);
в) \(\sqrt{24}=\frac13\sqrt{216}\);
г) \(\frac23\sqrt{72}<7\sqrt{\frac23}\).

Как рассуждать:
Все сравниваемые выражения положительны. Если \(k>0\), то
\[ k\sqrt m=\sqrt{k^2m}. \] То есть множитель перед корнем можно внести под корень. После этого сравниваем подкоренные числа: чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень.

а)
\[ \frac13\sqrt{351}=\sqrt{\frac{351}{9}}=\sqrt{39}, \qquad \frac12\sqrt{188}=\sqrt{\frac{188}{4}}=\sqrt{47}. \] Так как \(39<47\), первое выражение меньше.

б)
\[ \frac13\sqrt{54}=\sqrt{\frac{54}{9}}=\sqrt6, \qquad \frac15\sqrt{150}=\sqrt{\frac{150}{25}}=\sqrt6. \] Подкоренные выражения равны, значит выражения равны.

в)
\[ \frac13\sqrt{216}=\sqrt{\frac{216}{9}}=\sqrt{24}. \] Оба выражения равны \(\sqrt{24}\).

г)
\[ \frac23\sqrt{72} =\sqrt{\frac{4}{9}\cdot72} =\sqrt{32}, \] \[ 7\sqrt{\frac23} =\sqrt{49\cdot\frac23} =\sqrt{\frac{98}{3}}. \] Сравним \(32\) и \(\frac{98}{3}\): \[ 32=\frac{96}{3}<\frac{98}{3}. \] Значит, \[ \frac23\sqrt{72}<7\sqrt{\frac23}. \]

Проверка приближённо:
а) \(6{,}25<6{,}86\); б) \(2{,}45=2{,}45\); в) \(4{,}90=4{,}90\); г) \(5{,}66<5{,}72\). Результаты сходятся.