Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. Нули функции:
   1. \(x=-3\), \(x=5\);
   2. \(x=-0{,}4\), \(x=0{,}4\).
2. Вершины парабол:
   1. \((-4;\,7)\);
   2. \((0{,}5;\,0{,}25)\).
3. Точки пересечения с осями:
   \((1;0)\), \((-5;0)\), \((0;-5)\).
4. Параболу \(y=2x^2\) нужно сдвинуть вправо на 5 и вниз на 1. Вершина будет в точке \((5;-1)\).
5. Точки пересечения графиков:
   \((-1;6)\) и \((3{,}5;15)\).

Как это получается

1. Нули функции — это значения \(x\), при которых \(y=0\).

   1. \[ x^2-2x-15=0 \] \[ (x-5)(x+3)=0 \] Значит, \(x=5\) или \(x=-3\).

   2. \[ 0{,}16-x^2=0 \] \[ x^2=0{,}16 \] \[ x=\pm 0{,}4. \]

2. Вершина параболы

   1. Если функция записана как
      \[ y=a(x-h)^2+k, \] то вершина имеет координаты \((h;k)\).
      Для \(y=-3(x+4)^2+7\): \[ h=-4,\quad k=7. \] Вершина: \((-4;7)\).

   2. Для \(y=ax^2+bx+c\) абсцисса вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a}. \] У \(y=-x^2+x\): \[ x_0=-\frac{1}{2\cdot(-1)}=0{,}5. \] Тогда \[ y_0=-(0{,}5)^2+0{,}5=-0{,}25+0{,}5=0{,}25. \] Вершина: \((0{,}5;0{,}25)\).

3. Пересечение с осями

   С осью \(Oy\): подставляем \(x=0\): \[ y=0^2+4\cdot0-5=-5. \] Точка: \((0;-5)\).

   С осью \(Ox\): подставляем \(y=0\): \[ x^2+4x-5=0. \] Корни: \[ x_1=1,\quad x_2=-5. \] Точки: \((1;0)\) и \((-5;0)\).

4. Сдвиги параболы

   \[ y=2(x-5)^2-1. \] Запись \((x-5)\) означает сдвиг вправо на 5, а \(-1\) — сдвиг вниз на 1.
   Коэффициент \(2\) не сдвигает параболу, а делает её уже: растягивает по вертикали.

5. Пересечение графиков

   Приравниваем правые части: \[ 2x^2-3x+1=2x+8. \] \[ 2x^2-5x-7=0. \] Дискриминант: \[ D=25+56=81. \] \[ x=\frac{5\pm 9}{4}. \] Получаем: \[ x_1=3{,}5,\quad x_2=-1. \] Подставляем в более простую функцию \(y=2x+8\): \[ x=3{,}5:\quad y=2\cdot3{,}5+8=15; \] \[ x=-1:\quad y=-2+8=6. \] Значит, точки пересечения: \((3{,}5;15)\) и \((-1;6)\).