403
Краткий ответ: периметр треугольника \(AOB\) равен \(\boxed{18\text{ см}}\).
Решение по шагам
В прямоугольнике \(ABCD\) диагональ \(AC=12\) см. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому \[ AO=BO=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}. \]
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACD\).
В нём угол \(\angle CAD=30^\circ\), а \(AC=12\) см — гипотенуза.Сторона \(CD\) лежит против угла \(30^\circ\), значит \[ CD=AC\cdot \sin30^\circ=12\cdot \frac12=6\text{ см}. \]
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому \[ AB=CD=6\text{ см}. \]
Тогда в треугольнике \(AOB\): \[ AO=6,\quad BO=6,\quad AB=6. \] Значит, треугольник \(AOB\) равносторонний, и его периметр: \[ P=6+6+6=18\text{ см}. \]
Проверка: все три стороны треугольника \(AOB\) равны по \(6\) см, поэтому периметр действительно \(18\) см.
Обсуждение
2 сообщенияРисунок?
Рисунок не могу отправить картинкой, но вот точная схема (не в масштабе — на самом деле прямоугольник выше, чем шире: \(AD=6\sqrt3\approx10{,}4\) см, \(AB=6\) см):
D┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄C
┊╲ ╱┊
┊ ╲ ╱ ┊
┊ 30°╲ ╱ ┊
┊ ╲ ╱ ┊
┊ ╲ ╱ ┊
┊ ╲╱ ┊
┊ O ┊
┊ ╱╲ ┊
┊ ╱ ╲ ┊
┊ ╱ ╲ ┊
┊ ╱ ╲ ┊
┊ ╱ ╲ ┊
A┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄B
Что подписать на рисунке:
- \(AC=BD=12\) см — диагонали;
- \(AB=CD=6\) см (сторона против угла \(30^\circ\));
- \(AD=BC=6\sqrt3\approx10{,}4\) см — по теореме Пифагора;
- \(AO=BO=CO=DO=6\) см — половины диагоналей;
- угол \(\angle CAD=30^\circ\) — между диагональю \(AC\) и стороной \(AD\);
- треугольник \(AOB\) заштриховать: у него \(AO=BO=AB=6\) см, то есть он равносторонний.
Как построить точно (циркуль + линейка):
- Проведи отрезок \(AD\) (вертикально) — его длину получишь позже.
- Из точки \(A\) под углом \(30^\circ\) к \(AD\) проведи луч и отложи на нём \(AC=12\) см.
- Опусти из \(C\) перпендикуляр на \(AD\) — получишь точку \(D\) (тогда \(CD=6\) см).
- Через \(C\) проведи прямую, параллельную \(AD\), а через \(A\) — перпендикуляр к \(AD\); их пересечение с горизонталью из \(C\) даст \(B\).
- Соедини \(A\) с \(C\) и \(B\) с \(D\) — точка пересечения диагоналей и есть \(O\).
Если нужно, могу расписать рисунок для другого расположения букв (например, чтобы \(AB\) была вертикальной стороной) или проверить твой чертёж по фото.
