Реши задание на изображении
На фото повністю видно три завдання. Розв’язую їх; остання задача про трикутник обрізана, тому її умову потрібно надіслати повністю.
1. Область визначення виразу
\[ \sqrt{7x-35}+\frac{1}{x^2-5x} \]
Відповідь:
\[
x\in(5;+\infty)
\]
Чому так:
Потрібні дві умови:
Під коренем невід’ємне число: \[ 7x-35\ge 0 \Rightarrow x\ge 5 \]
Знаменник не дорівнює нулю: \[ x^2-5x\ne0 \] \[ x(x-5)\ne0 \Rightarrow x\ne0,\ x\ne5 \]
Отже, \(x\ge5\), але \(x=5\) не можна брати. Тому: \[ x>5 \]
Запис: \(x\in(5;+\infty)\).
2. Розв’язати нерівність
\[ -4\le 1-\frac{x-2}{3}\le -3 \]
Відповідь: \[ x\in[14;17] \]
Розв’язання:
Віднімемо 1 від усіх частин:
\[ -5\le -\frac{x-2}{3}\le -4 \]
Помножимо на \(-1\). Знаки нерівностей зміняться на протилежні:
\[ 5\ge \frac{x-2}{3}\ge 4 \]
Перепишемо звично:
\[ 4\le \frac{x-2}{3}\le 5 \]
Помножимо всі частини на 3:
\[ 12\le x-2\le 15 \]
Додамо 2:
\[ 14\le x\le 17 \]
Отже, \(x\in[14;17]\).
Перевірка: при \(x=14\) вираз дорівнює \(-3\), при \(x=17\) — дорівнює \(-4\). Обидва значення підходять.
3. Розв’язати нерівність
\[ 1{,}2<\frac{7-3x}{5}\le 1{,}4 \]
Відповідь: \[ x\in\left[0;\frac13\right) \]
Розв’язання:
Помножимо всі частини на 5:
\[ 6<7-3x\le7 \]
Віднімемо 7:
\[ -1<-3x\le0 \]
Поділимо на \(-3\). Знаки нерівностей зміняться на протилежні:
\[ \frac13>x\ge0 \]
Тобто:
\[ 0\le x<\frac13 \]
Отже, \(x\in\left[0;\frac13\right)\).
Перевірка: \(x=0\) підходить, бо тоді вираз дорівнює \(1{,}4\). А \(x=\frac13\) не підходить, бо тоді вираз дорівнює \(1{,}2\), а потрібно строго більше \(1{,}2\).
Головний принцип
У подвійній нерівності можна виконувати дії з усіма трьома частинами одночасно. Якщо множимо або ділимо на від’ємне число, усі знаки нерівностей змінюємо на протилежні.
Для області визначення перевіряємо:
- підкореневий вираз \(\ge0\);
- знаменник \(\ne0\).
