Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$$x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,; x_2=3$$
Как это получается
Способ 1 — по теореме Виета (быстро, когда уравнение приведённое, т. е. коэффициент при $x^2$ равен 1).
Для $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$, а произведение — $q$:
$$x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6$$
Ищем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении — 6: это 2 и 3. Значит, $x_1=2$, $x_2=3$.
Отсюда же разложение на множители:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: $x-2=0$ или $x-3=0$.
Способ 2 — через дискриминант (работает всегда, даже если корни «некрасивые»).
$$D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1$$
$D>0$ — два корня:
$$x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2};\Rightarrow; x_1=\frac{6}{2}=3,\quad x_2=\frac{4}{2}=2$$
Проверка (подстановка)
- $x=2$: $4-10+6=0$ ✓
- $x=3$: $9-15+6=0$ ✓
Принцип, который стоит запомнить: у квадратного уравнения сумма корней $=-b/a$, произведение $=c/a$; если подобрать числа трудно — считай дискриминант, он даёт число корней ($D>0$ — два, $D=0$ — один, $D<0$ — корней нет) и сами корни по формуле.
Обсуждение
2 сообщенияА что делать, если дискриминант отрицательный?
Коротко
Если $D<0$, то действительных корней нет — в ответе так и пишешь: «корней нет» (уравнение не имеет решений в действительных числах). В старших классах, когда вводят комплексные числа, у такого уравнения есть два комплексных корня.
Почему так
Формула корней содержит $\sqrt{D}$:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$
Из отрицательного числа квадратный корень среди действительных чисел не извлекается (никакое действительное число в квадрате не даёт минус). Значит, подставить в формулу нечего — решений нет.
То же видно на графике: парабола $y=x^2-5x+6$ пересекает ось $Ox$ там, где $y=0$. При $D>0$ — две точки пересечения, при $D=0$ — одна (касание), при $D<0$ — **ни одной**: парабола целиком лежит выше оси (если $a>0$) или ниже (если $a<0$).
Пример
$$x^2-2x+5=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16<0 ;\Rightarrow; \text{корней нет.}$$
Проверка через выделение полного квадрата:
$$x^2-2x+5=(x-1)^2+4=0 ;\Rightarrow; (x-1)^2=-4$$
Квадрат не может быть отрицательным — подтверждение, что решений нет.
Если комплексные числа уже проходили, корни записывают так ($i^2=-1$):
$$x=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$$
Что писать в ответе
- $D>0$ — два разных корня;
- $D=0$ — один корень $x=-\dfrac{b}{2a}$;
- $D<0$ — корней нет (действительных).
Полезная привычка: если дискриминант вышел отрицательным, а по смыслу задачи корень должен быть, — перепроверь знаки коэффициентов, это самая частая ошибка (например, $c$ с минусом).
На фото — задание по русскому языку (однокоренные слова, корень и окончание): это другая тема, к уравнению она не относится. Если нужно разобрать и его — скажи, помогу.
