Реши задание на изображении
Решаю основной номер 1201.
Ответы:
а) \(1\); б) \(27\); в) \(1000\); г) \(\frac1{25}\); д) \(2\); е) \(1\); ж) \(81\); з) \(15\,625\).
Главный принцип: все основания нужно свести к одному простому основанию: \[ 4=2^2,\quad 8=2^3,\quad 9=3^2,\quad 25=5^2,\quad 125=5^3. \] Используем свойства степеней: \[ (a^m)^n=a^{mn},\quad a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad a^m:a^n=a^{m-n}, \] \[ a^0=1,\quad a^{-n}=\frac1{a^n}. \]
Решение по пунктам
а)
\[
8^{-2}\cdot4^3=(2^3)^{-2}\cdot(2^2)^3
=2^{-6}\cdot2^6=2^0=1.
\]
б)
\[
9^{-6}\cdot27^5=(3^2)^{-6}\cdot(3^3)^5
=3^{-12}\cdot3^{15}=3^3=27.
\]
в)
\[
10^0:10^{-3}=10^{0-(-3)}=10^3=1000.
\]
г)
\[
125^{-4}:25^{-5}=(5^3)^{-4}:(5^2)^{-5}
=5^{-12}:5^{-10}=5^{-2}=\frac1{25}.
\]
д)
\[
\frac{2^{-21}}{4^{-5}\cdot4^{-6}}
=\frac{2^{-21}}{4^{-11}}
=\frac{2^{-21}}{2^{-22}}
=2^{1}=2.
\]
е)
\[
\frac{4^{-2}\cdot8^{-6}}{2^{-22}}
=\frac{(2^2)^{-2}\cdot(2^3)^{-6}}{2^{-22}}
=\frac{2^{-4}\cdot2^{-18}}{2^{-22}}
=\frac{2^{-22}}{2^{-22}}=1.
\]
ж)
\[
\frac{3^{-10}\cdot9^8}{(-3)^2}
=\frac{3^{-10}\cdot3^{16}}{3^2}
=\frac{3^6}{3^2}=3^4=81.
\]
з)
\[
\frac{5^{-5}\cdot25^{10}}{125^3}
=\frac{5^{-5}\cdot5^{20}}{5^9}
=\frac{5^{15}}{5^9}=5^6=15\,625.
\]
Проверка: в пунктах а) и е) показатель в итоге равен \(0\), поэтому получается \(1\). В пункте ж) важно, что \((-3)^2=9>0\). Значения \(3^4=81\) и \(5^6=15\,625\) можно проверить прямым умножением.
