Сделай 1136 и 1137
Краткий ответ
1136.
а) \(\sin^2\alpha\)
б) \(\cos^2\alpha\)
в) \(-\cos^2\alpha\)
г) \(-\sin^2\alpha\)
д) \(-\sin^2\alpha\)
е) \(\cos^2\alpha\)
1137.
а) \(\operatorname{tg}^2\alpha\)
б) \(-\operatorname{ctg}^2\alpha\)
в) \(\operatorname{ctg}^2\alpha\)
г) \(\operatorname{tg}^2\alpha\)
д) \(\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\)
е) \(\dfrac{1}{\sin^2\alpha}\)
Как это получается
Нужны основные формулы:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}, \qquad \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1. \]
1136
а)
\[
1-\sin\alpha\cos\alpha\operatorname{ctg}\alpha
=
1-\sin\alpha\cos\alpha\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
=
1-\cos^2\alpha
=
\sin^2\alpha.
\]
б)
\[
1-\sin\alpha\cos\alpha\operatorname{tg}\alpha
=
1-\sin\alpha\cos\alpha\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
=
1-\sin^2\alpha
=
\cos^2\alpha.
\]
в)
\[
\operatorname{tg}\alpha\sin\alpha\cos\alpha-1
=
\sin^2\alpha-1
=
-\cos^2\alpha.
\]
г)
\[
\operatorname{ctg}\alpha\sin\alpha\cos\alpha-1
=
\cos^2\alpha-1
=
-\sin^2\alpha.
\]
д)
\[
\cos^2\alpha-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha
=
\cos^2\alpha-1
=
-\sin^2\alpha.
\]
е)
\[
\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha-\sin^2\alpha
=
1-\sin^2\alpha
=
\cos^2\alpha.
\]
1137
Используем: \[ 1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha, \qquad 1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha, \] \[ \sin^2\alpha-1=-\cos^2\alpha, \qquad \cos^2\alpha-1=-\sin^2\alpha. \]
а)
\[
\frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}
=
\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}
=
\operatorname{tg}^2\alpha.
\]
б)
\[
\frac{\sin^2\alpha-1}{\sin^2\alpha}
=
\frac{-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}
=
-\operatorname{ctg}^2\alpha.
\]
в)
\[
\frac{1-\sin^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}
=
\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}
=
\operatorname{ctg}^2\alpha.
\]
г)
\[
\frac{\cos^2\alpha-1}{\sin^2\alpha-1}
=
\frac{-\sin^2\alpha}{-\cos^2\alpha}
=
\operatorname{tg}^2\alpha.
\]
д)
\[
\frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha}+1
=
\operatorname{tg}^2\alpha+1
=
\frac{1}{\cos^2\alpha}.
\]
е)
\[
1+\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha}
=
1+\operatorname{ctg}^2\alpha
=
\frac{1}{\sin^2\alpha}.
\]
Важно: все преобразования выполняются только при таких \(\alpha\), где исходные дроби и \(\operatorname{tg}\), \(\operatorname{ctg}\) существуют — знаменатели не должны обращаться в нуль.
Проверка, например, для 1137(а) при \(\alpha=30^\circ\): \[ \frac{1-\cos^2 30^\circ}{\cos^2 30^\circ} = \frac{1-\frac34}{\frac34} = \frac13 = \operatorname{tg}^2 30^\circ. \]
