Реши задание на изображении

Краткий ответ.
В №1.15:

1. \(P=CE\cap AB\);
2. \(Q=FD_1\cap AB\).
   Речь о пересечении продолжений прямых.
   В №1.13 надо изобразить три плоскости, попарные пересечения которых — прямые \(a,b,c\); проще всего нарисовать их как три плоскости координатного угла, тогда \(a,b,c\) проходят через одну точку.

Главный принцип. Если прямая лежит в одной из двух пересекающихся плоскостей, то её точка пересечения со второй плоскостью лежит на линии пересечения этих плоскостей. Поэтому нужную точку почти всегда ищут на линии пересечения плоскостей.

№ 1.15

Обозначим плоскости квадратов: \[ \alpha=(ABCD),\qquad \beta=(ABC_1D_1). \] Они пересекаются по прямой \(AB\), так как обе содержат \(A\) и \(B\), а в одной плоскости квадраты не лежат: \[ \alpha\cap\beta=AB. \]

1. Прямая \(CE\) лежит в плоскости \(\alpha\). Значит, её пересечение с плоскостью \(\beta=(ABC_1)\) должно лежать на \(AB\). Поэтому:

• продлить \(CE\) до пересечения с прямой \(AB\);
• полученная точка \(P\) — искомая.

То есть \(P=CE\cap AB\). На обычном рисунке \(P\) оказывается на продолжении \(AB\) за точку \(A\).

2. Прямая \(FD_1\) лежит в плоскости \(\beta\). Её пересечение с плоскостью \(\alpha=(ABC)\) тоже должно лежать на \(AB\). Поэтому:

• продлить \(FD_1\) до пересечения с \(AB\);
• полученная точка \(Q\) — искомая.

То есть \(Q=FD_1\cap AB\). Обычно \(Q\) лежит на продолжении \(AB\) за точку \(B\).

№ 1.13

Нужно изобразить три плоскости так, чтобы: \[ \alpha\cap\beta=c,\qquad \alpha\cap\gamma=b,\qquad \beta\cap\gamma=a. \] Удобно нарисовать две вертикальные плоскости и одну горизонтальную — как две стены и пол. Тогда их попарные пересечения дают три прямые \(a,b,c\), проходящие через одну общую точку.

Возможен и другой случай: если три плоскости не имеют общей точки, то прямые \(a,b,c\) получаются параллельными. Для школьного рисунка достаточно первого варианта.

№ 1.14

Пусть \(\Pi=(ABC)\).
Так как \(A,B\in\alpha\) и \(A,B\in\Pi\), то \[ \Pi\cap\alpha=AB. \]

Для пересечения с плоскостью \(\beta\):

• продлить \(AB\) до пересечения с \(m=\alpha\cap\beta\); пусть \(P=AB\cap m\);
• точка \(P\) лежит в \(\beta\), а также в плоскости \(ABC\);
• значит, \(\Pi\cap\beta=CP\).

Если \(AB\parallel m\), то через \(C\) надо провести прямую, параллельную \(m\); она и будет линией пересечения с \(\beta\).

№ 1.11

Нарисовать две пересекающиеся плоскости \(\alpha\) и \(\beta\); их общую прямую обозначить \(c\).
Точку \(A\) поставить на \(c\).
Точку \(B\) взять в плоскости \(\alpha\), но не на \(c\): тогда \(B\notin\beta\), потому что общие точки плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) лежат только на \(c\).

№ 1.12

Нарисовать прямую \(m\). Через неё провести три плоскости \(\alpha,\beta,\gamma\) — как страницы книги на общей оси. Тогда \[ \alpha\cap\beta=m,\qquad \alpha\cap\gamma=m. \]