Реши задание на изображении
Верное утверждение — третье:
арифметическим квадратным корнем из числа \(a\) называется неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).
Почему так:
- «Квадратный корень из \(a\)» — это число, квадрат которого равен \(a\). Например, у числа \(9\) квадратные корни: \(3\) и \(-3\), ведь \(3^2=9\) и \((-3)^2=9\).
- Арифметический квадратный корень берётся только неотрицательным. Поэтому
\[ \sqrt{9}=3,\quad \text{а не } -3. \] - В первом варианте дано определение именно арифметического корня, но названо просто «квадратным корнем» — это неточно.
- Во втором варианте пропущено слово «неотрицательное»: под него подошло бы и \(-3\), а это уже не арифметический корень.
- Третий вариант верный. При этом подразумевается \(a\ge 0\).
Проверка:
\[
\sqrt{25}=5,\qquad 5\ge 0,\qquad 5^2=25.
\]
Всё сходится.
Обсуждение
16 сообщенийПравильный ответ: \(-25\).
В действительных числах квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.
Проверка остальных вариантов: \[ \sqrt{0}=0,\qquad \sqrt{0{,}16}=0{,}4,\qquad \sqrt{36}=6. \]
А для \(-25\) такого действительного числа, квадрат которого равен \(-25\), нет.
Ответ: \(-2{,}6\).
Решение по шагам:
\[ \sqrt{1{,}44}=1{,}2,\quad \text{поэтому } 2\sqrt{1{,}44}=2\cdot 1{,}2=2{,}4 \]
\[ \sqrt{225}=15,\quad \text{поэтому } \frac13\sqrt{225}=\frac{15}{3}=5 \]
Подставляем:
\[ 2\sqrt{1{,}44}-\frac13\sqrt{225}=2{,}4-5=-2{,}6 \]
Проверка: \(2{,}4-5=-(5-2{,}4)=-2{,}6\) — сходится. Правильный вариант — \(-2{,}6\).
Ответ: \(1{,}2\) (последний вариант).
Решение по шагам:
\[ \sqrt{1{,}96}=1{,}4,\quad \text{поэтому } \frac17\sqrt{1{,}96}=\frac{1{,}4}{7}=0{,}2 \]
\[ \sqrt{64}=8,\quad \text{поэтому } \sqrt{64}-2=8-2=6 \]
Умножаем:
\[ \frac17\sqrt{1{,}96}\,(\sqrt{64}-2)=0{,}2\cdot 6=1{,}2 \]
Проверка: \(0{,}2\cdot 6=1{,}2\) — сходится. Правильный вариант — \(1{,}2\).
Ответ: \(0{,}49\).
Решение:
\[ \sqrt{1{,}44}=1{,}2 \]
Подставляем \(x=1{,}69\) и \(y=1{,}44\):
\[ x-\sqrt{y}=1{,}69-1{,}2=0{,}49 \]
Проверка: \(1{,}2^2=1{,}44\), значит корень найден верно; \(1{,}69-1{,}2=0{,}49\).
Правильный вариант — \(0{,}49\).
Ответ: \(5\).
Решение по шагам — начинаем с самого внутреннего корня:
\[ \sqrt{25}=5 \]
\[ \sqrt{4+\sqrt{25}}=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3 \]
\[ \sqrt{22+\sqrt{4+\sqrt{25}}}=\sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5 \]
Проверка: \(5^2=25\), \(22+3=25\), \(3^2=9\), \(4+5=9\), \(5^2=25\) — всё сходится.
Правильный вариант — \(5\).
Ответ: \(a=1\).
Почему:
Уравнение имеет вид \[ x^2=a-1. \]
Разбираем случаи:
- если \(a-1>0\), то есть \(a>1\), получаем два корня: \[ x=\pm\sqrt{a-1}; \]
- если \(a-1<0\), то есть \(a<1\), действительных корней нет;
- если \(a-1=0\), то \[ x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=0, \] то есть корень ровно один.
Значит, условие «только один корень» выполняется при \[ a-1=0 \quad\Rightarrow\quad a=1. \]
Правильный вариант — \(a=1\).
Ответ: \(10\sqrt{3}\) — первый вариант.
Решение:
Разложим число под корнем на множители так, чтобы один из них был полным квадратом:
\[ 300=100\cdot 3=10^2\cdot 3 \]
Тогда
\[ \sqrt{300}=\sqrt{10^2\cdot 3}=10\sqrt{3}. \]
Проверка остальных вариантов:
- \((3\sqrt{10})^2=9\cdot 10=90\neq 300\);
- \(3\sqrt{100}=3\cdot 10=30\neq\sqrt{300}\);
- \((100\sqrt{3})^2=10\,000\cdot 3=30\,000\neq 300\).
А для верного варианта:
\[ (10\sqrt{3})^2=100\cdot 3=300. \]
Значит, правильный ответ — \(10\sqrt{3}\).
Ответ: \(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\) — первый вариант.
Решение:
Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{10}\), чтобы в знаменателе получился полный квадрат:
\[ \frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}. \]
Проверка: \(\sqrt{10}\approx 3{,}162\), значит \[ \frac{\sqrt{10}}{2}\approx 1{,}581,\qquad \frac{5}{\sqrt{10}}\approx \frac{5}{3{,}162}\approx 1{,}581. \] Значения совпадают.
Остальные варианты не подходят: \(5\sqrt{10}\) больше исходного числа в 10 раз, \(\frac12\) — это \(\frac{1}{\sqrt{10}}\)-я часть, а в \(\frac{2}{\sqrt{10}}\) иррациональность в знаменателе так и осталась.
