Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Краткий ответ

• Пересечение плоскости \(ABC\) с плоскостью \(\alpha\) — это прямая \(AB\).
• Пересечение плоскости \(ABC\) с плоскостью \(\beta\) — это прямая \(CK\), где \(K\) — точка пересечения прямой \(AB\) с прямой \(m\) (если \(AB \parallel m\), то через \(C\) проводим прямую, параллельную \(m\)).

Это продолжение: вы прислали задание, которое я просил, поэтому решаю его.

Почему так

С плоскостью \(\alpha\). Точки \(A\) и \(B\) лежат в \(\alpha\) по условию и обе лежат в плоскости \(ABC\) (они её задают). Значит, вся прямая \(AB\) принадлежит сразу двум плоскостям \(\alpha\) и \((ABC)\). Плоскости различны (\(C \notin \alpha\)), поэтому их общая линия одна — это \(AB\).

С плоскостью \(\beta\). Одна общая точка уже есть: \(C \in \beta\) и \(C \in (ABC)\). Нужна вторая. Прямая \(AB\) лежит в \((ABC)\); продлим её до пересечения с \(m\) в точке \(K\). Тогда:

• \(K \in m \subset \beta\);
• \(K \in AB \subset (ABC)\).

Значит, \(K\) — вторая общая точка, и линия пересечения — \(CK\).

Порядок построения на рисунке

1. Проведите прямую \(AB\) — это и есть искомая линия в плоскости \(\alpha\).
2. Продлите \(AB\) (и при необходимости прямую \(m\)) до их пересечения; обозначьте точку \(K\).
3. Соедините \(K\) и \(C\). Прямая \(KC\) — искомая линия в плоскости \(\beta\).

Особый случай

Если \(AB \parallel m\), то точка \(K\) не существует. Тогда плоскость \(ABC\) пересекает \(\beta\) по прямой, проходящей через \(C\) параллельно \(m\) (и параллельно \(AB\)).

Проверка

Прямая \(KC\) проходит через \(C \in \beta\) и \(K \in m \subset \beta\), то есть целиком лежит в \(\beta\); при этом \(C, K \in (ABC)\), то есть она лежит и в \((ABC)\). Условие «две общие точки ⇒ прямая общая для двух плоскостей» выполнено — построение верное.