Сделай что бы тут стоял китайка

Нужно отметить:

• AB = CD
• BC = AD

Это равенства противоположных сторон. Если в четырёхугольнике обе пары противоположных сторон равны, то он является параллелограммом.

Равенство AB = BC само по себе недостаточно — оно говорит о равенстве соседних сторон.

Нужно отметить 1-й и 3-й пункты:

• ☑ \(AB = CD\)
• ☐ \(AB = BC\)
• ☑ \(BC = AD\)

Почему: если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны (\(AB=CD\) и \(BC=AD\)), то по признаку параллелограмма этот четырёхугольник — параллелограмм. Равенства \(AB=BC\) недостаточно: оно связывает соседние стороны и само по себе параллелограмм не задаёт.

Правильные два пункта:

• ☑ \(BC \parallel AD\)
• ☑ \(BC = AD\)

Почему: если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон одновременно параллельна и равна, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

\(AC = BD\) — это равенство диагоналей; само по себе оно параллелограмм не доказывает (так бывает, например, в равнобедренной трапеции).

Правильно отметить:

• ☑ \(AO = OC\)
• ☐ \(AB = CD\)
• ☑ \(BO = OD\)

Почему: \(AO\) и \(OC\) — части одной диагонали \(AC\), а \(BO\) и \(OD\) — части диагонали \(BD\). Если обе диагонали делятся точкой пересечения пополам, то четырёхугольник — параллелограмм (признак параллелограмма по диагоналям).

Одного равенства \(AB = CD\) недостаточно: равные противоположные стороны ещё не гарантируют параллельности.

Заполни пропуски так:

∠CBD и ∠ADB — накрест лежащие при прямых \(BC\) и \(AD\), секущей \(BD\).

Поскольку \(\angle CBD = \angle ADB\), то \(BC \parallel AD\).

Следовательно, стороны \(BC\) и \(AD\) четырёхугольника \(ABCD\) равны и параллельны, поэтому этот четырёхугольник — параллелограмм.

По пропускам по порядку:

1. накрест лежащие
2. AD
3. BD
4. BC
5. AD
6. параллельны

Доказательство.

В параллелограмме \(ABCD\) противоположные стороны и углы равны: \[ AB=CD,\quad BC=AD,\quad \angle ABC=\angle CDA,\quad \angle DAB=\angle BCD. \]

1. Докажем, что \(ME=FK\)

Так как \[ BM=AB-AM,\qquad DF=CD-CF, \] а \(AB=CD\) и \(AM=CF\), то \[ BM=DF. \]

Аналогично: \[ BE=BC-CE,\qquad DK=AD-AK. \] Поскольку \(BC=AD\), \(CE=AK\), получаем \[ BE=DK. \]

Углы \[ \angle MBE=\angle ABC,\qquad \angle FDK=\angle CDA \] равны как противоположные углы параллелограмма.

Значит, треугольники \(BME\) и \(DFK\) равны по двум сторонам и углу между ними: \[ \triangle BME=\triangle DFK. \] Следовательно, \[ ME=FK. \]

2. Докажем, что \(MK=EF\)

Рассмотрим треугольники \(AMK\) и \(CEF\).

Дано: \[ AM=CE,\qquad AK=CF. \] Кроме того, \[ \angle MAK=\angle DAB=\angle BCD=\angle ECF. \]

Значит, треугольники \(AMK\) и \(CEF\) равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому \[ MK=EF. \]

Вывод

В четырёхугольнике \(MEFK\) противоположные стороны попарно равны: \[ ME=FK,\qquad MK=EF. \]

По признаку параллелограмма такой четырёхугольник является параллелограммом.

\[ \boxed{\text{Четырёхугольник }MEFK\text{ — параллелограмм.}} \]

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(M\) — середина \(BC\), \(K\) — середина \(AD\).
Точки \(P\) и \(N\) — пересечения отрезков, как показано на рисунке.
Доказать: \(MNPK\) — параллелограмм.

Доказательство

1. Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \[ BC=AD,\qquad BC\parallel AD. \] Поэтому половины этих сторон тоже равны и параллельны: \[ MC=AK,\qquad MC\parallel AK. \]

2. Рассмотрим четырёхугольник \(AMCK\). У него противоположные стороны \(MC\) и \(AK\) равны и параллельны, значит, \(AMCK\) — параллелограмм. Следовательно, \[ AM\parallel CK. \]

3. Аналогично рассмотрим \(BMDK\). В нём \[ BM=DK,\qquad BM\parallel DK, \] поэтому \(BMDK\) — параллелограмм. Значит, \[ BK\parallel MD. \]

4. В четырёхугольнике \(MNPK\):

• сторона \(MP\) лежит на прямой \(AM\), а \(NK\) — на прямой \(CK\), поэтому \[ MP\parallel NK; \]
• сторона \(MN\) лежит на прямой \(MD\), а \(PK\) — на прямой \(BK\), поэтому \[ MN\parallel PK. \]

5. У четырёхугольника \(MNPK\) обе пары противоположных сторон параллельны. По признаку параллелограмма он является параллелограммом.

\[ \boxed{MNPK \text{ — параллелограмм, ч.т.д.}} \]