Геометрия · 8 класс Задача №3743401
А
А
Реши 7 задачу
Краткий ответ:
\[
EF=\frac{CD}{2}=0{,}5\,CD.
\]
Доказательство
- Через точку \(B\) проведём прямую, параллельную \(CD\). Пусть она пересечёт прямую \(AD\) в точке \(K\).
- В трапеции основания параллельны: \(AD\parallel BC\). Кроме того, \(BK\parallel CD\). Значит, \(BCDK\) — параллелограмм, поэтому
\[ BK=CD. \] - Рассмотрим треугольник \(ABK\). Точка \(E\) — середина \(AB\), а \(EF\parallel CD\), значит, \(EF\parallel BK\). Поэтому \(EF\) — средняя линия треугольника \(ABK\).
- Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны: \[ EF=\frac{BK}{2}. \] Так как \(BK=CD\), получаем: \[ EF=\frac{CD}{2}=0{,}5\,CD. \]
Главная идея: дополнительным построением мы «превратили» трапецию в треугольник, где \(EF\) стала средней линией. Именно поэтому длина \(EF\) ровно в два раза меньше \(CD\).
Обсуждение
2 сообщения А
реши эту задачу с рисунком
Задача 7. В трапеции \(ABCD\) (рис. 8) отрезок \(EF\) параллелен стороне \(CD\), а точка \(E\) — середина \(AB\). Докажите, что \(EF = 0{,}5\,CD\).
Рисунок (дополнительное построение)
- Начертите трапецию \(ABCD\) с основаниями \(AD \parallel BC\).
- Отметьте точку \(E\) — середину боковой стороны \(AB\).
- Через вершину \(B\) проведите прямую, параллельную \(CD\). Пусть она пересекает прямую \(AD\) в точке \(K\).
- Точку \(F\) возьмите на \(AD\) так, чтобы выполнялось \(EF \parallel CD\) (по условию задачи).
Схематично это выглядит так:
B ───────────── C
╱ ╲ ╱
╱ ╲ ╱
E ╲ ╱
╱ ╲ ╲ ╱
╱ ╲ ╲ ╱
A─────F─────K───D
На рисунке \(BK \parallel CD\), а \(EF \parallel BK\) (так как обе прямые параллельны \(CD\)).
Доказательство
- Так как \(AD \parallel BC\) (основания трапеции) и \(BK \parallel CD\) (по построению), то четырёхугольник \(BCDK\) — параллелограмм.
- В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому
\[ BK = CD. \] - Рассмотрим треугольник \(ABK\):
- точка \(E\) — середина стороны \(AB\) (по условию);
- отрезок \(EF \parallel BK\) (по условию \(EF \parallel CD\), а \(BK \parallel CD\)).
- Следовательно, \(EF\) — средняя линия треугольника \(ABK\). По свойству средней линии треугольника: \[ EF = \frac{1}{2}BK. \]
- Подставляем \(BK = CD\): \[ EF = \frac{1}{2}CD = 0{,}5\,CD. \]
Что и требовалось доказать.
