Реши задание на изображении

На изображении задачи 4.22–4.27. Краткие ответы:

• 4.22 — доказательство ниже;
• 4.23 — \(4\) см;
• 4.24 — \(6\) см;
• 4.25 — \(18\) см;
• 4.26 — \(2\) см;
• 4.27 — \(4\sqrt2\) см.

Общая идея для 4.23–4.25: параллельные прямые дают «проекцию» точек на плоскость вдоль одного направления. Для таких проекций середина отрезка переходит в середину, а расстояния до плоскости вдоль этого направления складываются как числа со знаком: точки по разные стороны плоскости имеют разные знаки.

4.22

Пусть прямая через \(M\) пересекает \(a\) и \(b\) в точках \(P\) и \(Q\). Параллельные прямые \(a\) и \(b\) лежат в одной плоскости \(\beta\). Значит, \(P\in\beta\), \(Q\in\beta\), поэтому вся прямая \(PQ\) лежит в \(\beta\). Но \(M\in PQ\), следовательно, \(M\in\beta\).
То есть \(a\), \(b\) и \(M\) лежат в одной плоскости.

4.23

Пусть \(h_A,h_B,h_C\) — расстояния до плоскости со знаком. Так как \(C\) — середина \(AB\), то \[ h_C=\frac{h_A+h_B}{2}. \] Отрезок \(AB\) пересекает плоскость, значит \(A\) и \(B\) лежат по разные стороны: \[ h_A=16,\qquad h_B=-8. \] Тогда \[ h_C=\frac{16-8}{2}=4. \] Ответ: \(\boxed{4\text{ см}}\).

4.24

Точка \(C\) делит \(AB\) в отношении \(AC:BC=5:3\), поэтому \[ h_C=\frac{3h_A+5h_B}{8}. \] Так как \(A\) и \(C\) по разные стороны плоскости, а \(B\) лежит с той же стороны, что и \(C\), берём \[ h_C=4,\qquad h_B=10. \] Тогда \[ 4=\frac{3h_A+5\cdot10}{8}, \] \[ 32=3h_A+50, \] \[ h_A=-6. \] Значит, \[ AA_1=|h_A|=6\text{ см}. \] Ответ: \(\boxed{6\text{ см}}\).

4.25

\(M\) — середина \(AC\), \(O\) — середина \(BM\). Поэтому \[ h_M=\frac{h_A+h_C}{2}, \] \[ h_O=\frac{h_B+h_M}{2} =\frac{h_A+h_B+h_C}{4}. \] Подставляем: \[ 12=\frac{17+BB_1+13}{4}, \] \[ 48=30+BB_1, \] \[ BB_1=18\text{ см}. \] Ответ: \(\boxed{18\text{ см}}\).

4.26

Точка пересечения медиан грани — её центроид. Если \(G_1\) — центроид грани \(ADC\), а \(G_2\) — грани \(BDC\), то \[ G_1=\frac{A+D+C}{3},\qquad G_2=\frac{B+D+C}{3}. \] Тогда \[ \overrightarrow{G_1G_2} =\frac{\overrightarrow{AB}}{3}. \] Значит, \[ G_1G_2=\frac{AB}{3}=\frac{6}{3}=2\text{ см}. \] Ответ: \(\boxed{2\text{ см}}\).

4.27

Аналогично, центроиды граней \(AMD\) и \(DMC\): \[ G_1=\frac{A+M+D}{3},\qquad G_2=\frac{C+M+D}{3}. \] Тогда \[ G_1G_2=\frac{AC}{3}. \] \(AC\) — диагональ квадрата со стороной \(12\): \[ AC=12\sqrt2. \] Следовательно, \[ G_1G_2=\frac{12\sqrt2}{3}=4\sqrt2\text{ см}. \] Ответ: \(\boxed{4\sqrt2\text{ см}}\).

Проверка: в 4.23 среднее \(16\) и \(-8\) равно \(4\); в 4.24 \(4=(3\cdot(-6)+5\cdot10)/8\); в 4.25 \((17+18+13)/4=12\), всё сходится.