реши все
Обозначения: \(a=BC,\ b=AC,\ c=AB\). Стороны — в см, углы — в градусах.
- \(\angle A=76^\circ;\ BC\approx10{,}45;\ AB\approx8{,}92\).
- \(AC\approx7{,}39;\ \angle A\approx39{,}5^\circ;\ \angle C\approx30{,}5^\circ\).
- \(\angle A\approx36{,}3^\circ;\ \angle B\approx117{,}3^\circ;\ \angle C\approx26{,}4^\circ\).
- \(AC\approx3{,}83;\ \angle B\approx39{,}0^\circ;\ \angle C\approx41{,}0^\circ\).
- \(AC\approx13{,}51;\ \angle B\approx105{,}2^\circ;\ \angle C\approx34{,}8^\circ\).
- Два решения:
\( \angle C\approx24{,}2^\circ,\ \angle B\approx135{,}8^\circ,\ AC\approx10{,}20\);
\( \angle C\approx155{,}8^\circ,\ \angle B\approx4{,}2^\circ,\ AC\approx1{,}08\). - Решений нет: \(\sin C=\dfrac{6\sin40^\circ}{3}\approx1{,}29>1\).
Обсуждение
2 сообщенияподробно каждую задачу
Все углы — в градусах. Обозначим:
\(a=BC\) — против \(\angle A\),
\(b=AC\) — против \(\angle B\),
\(c=AB\) — против \(\angle C\).
1) Дано: \(\angle B=48^\circ,\ \angle C=56^\circ,\ AC=8\)
\[ \angle A=180^\circ-48^\circ-56^\circ=76^\circ \]
По теореме синусов:
\[ \frac{BC}{\sin 76^\circ}=\frac{AC}{\sin 48^\circ} \]
\[ BC=\frac{8\sin76^\circ}{\sin48^\circ} \approx \frac{8\cdot0{,}9703}{0{,}7431}\approx10{,}45 \]
\[ AB=\frac{8\sin56^\circ}{\sin48^\circ} \approx \frac{8\cdot0{,}8290}{0{,}7431}\approx8{,}92 \]
Ответ:
\[
\angle A=76^\circ,\quad BC\approx10{,}45,\quad AB\approx8{,}92.
\]
2) Дано: \(BC=5,\ AB=4,\ \angle B=110^\circ\)
Сторона \(AC\) лежит против \(\angle B\), поэтому по теореме косинусов:
\[ AC^2=BC^2+AB^2-2\cdot BC\cdot AB\cos B \]
\[ AC^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cos110^\circ \]
\[ AC^2=25+16-40\cdot(-0{,}3420) =41+13{,}68=54{,}68 \]
\[ AC\approx\sqrt{54{,}68}\approx7{,}39 \]
Теперь по теореме синусов:
\[ \frac{\sin A}{BC}=\frac{\sin B}{AC} \]
\[ \sin A=\frac{5\sin110^\circ}{7{,}39} \approx\frac{5\cdot0{,}9397}{7{,}39}\approx0{,}6355 \]
\[ \angle A\approx39{,}5^\circ \]
Тогда:
\[ \angle C=180^\circ-110^\circ-39{,}5^\circ=30{,}5^\circ \]
Ответ:
\[
AC\approx7{,}39,\quad \angle A\approx39{,}5^\circ,\quad \angle C\approx30{,}5^\circ.
\]
3) Дано: \(BC=4,\ AC=6,\ AB=3\)
Используем теорему косинусов.
Для \(\angle A\):
\[ \cos A=\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2\cdot AC\cdot AB} \]
\[ \cos A=\frac{6^2+3^2-4^2}{2\cdot6\cdot3} =\frac{36+9-16}{36} =\frac{29}{36}\approx0{,}8056 \]
\[ \angle A\approx36{,}3^\circ \]
Для \(\angle B\):
\[ \cos B=\frac{BC^2+AB^2-AC^2}{2\cdot BC\cdot AB} \]
\[ \cos B=\frac{4^2+3^2-6^2}{2\cdot4\cdot3} =\frac{16+9-36}{24} =-\frac{11}{24}\approx-0{,}4583 \]
\[ \angle B\approx117{,}3^\circ \]
Тогда:
\[ \angle C=180^\circ-36{,}3^\circ-117{,}3^\circ=26{,}4^\circ \]
Ответ:
\[
\angle A\approx36{,}3^\circ,\quad \angle B\approx117{,}3^\circ,\quad \angle C\approx26{,}4^\circ.
\]
4) Дано: \(BC=6,\ AB=4,\ \angle A=100^\circ\)
По теореме синусов:
\[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C} \]
\[ \frac{6}{\sin100^\circ}=\frac{4}{\sin C} \]
\[ \sin C=\frac{4\sin100^\circ}{6} \approx\frac{4\cdot0{,}9848}{6} \approx0{,}6565 \]
\[ \angle C\approx41{,}0^\circ \]
Второй возможный угол \(180^\circ-41{,}0^\circ=139{,}0^\circ\) не подходит, так как вместе с \(\angle A=100^\circ\) сумма уже больше \(180^\circ\).
\[ \angle B=180^\circ-100^\circ-41{,}0^\circ=39{,}0^\circ \]
Осталось найти \(AC\):
\[ AC=\frac{BC\sin B}{\sin A} =\frac{6\sin39{,}0^\circ}{\sin100^\circ} \approx\frac{6\cdot0{,}6293}{0{,}9848} \approx3{,}83 \]
Ответ:
\[
AC\approx3{,}83,\quad \angle B\approx39{,}0^\circ,\quad \angle C\approx41{,}0^\circ.
\]
5) Дано: \(BC=9,\ AB=8,\ \angle A=40^\circ\)
По теореме синусов:
\[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C} \]
\[ \frac{9}{\sin40^\circ}=\frac{8}{\sin C} \]
\[ \sin C=\frac{8\sin40^\circ}{9} \approx\frac{8\cdot0{,}6428}{9} \approx0{,}5714 \]
\[ \angle C\approx34{,}8^\circ \]
Второй угол \(180^\circ-34{,}8^\circ=145{,}2^\circ\) не подходит, потому что:
\[ 40^\circ+145{,}2^\circ>180^\circ \]
Тогда:
\[ \angle B=180^\circ-40^\circ-34{,}8^\circ=105{,}2^\circ \]
Находим \(AC\):
\[ AC=\frac{BC\sin B}{\sin A} =\frac{9\sin105{,}2^\circ}{\sin40^\circ} \approx\frac{9\cdot0{,}9652}{0{,}6428} \approx13{,}51 \]
Ответ:
\[
AC\approx13{,}51,\quad \angle B\approx105{,}2^\circ,\quad \angle C\approx34{,}8^\circ.
\]
6) Дано: \(BC=5,\ AB=6,\ \angle A=20^\circ\)
По теореме синусов:
\[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C} \]
\[ \frac{5}{\sin20^\circ}=\frac{6}{\sin C} \]
\[ \sin C=\frac{6\sin20^\circ}{5} \approx\frac{6\cdot0{,}3420}{5} \approx0{,}4104 \]
Здесь возможны два угла:
\[ \angle C_1\approx24{,}2^\circ,\qquad \angle C_2=180^\circ-24{,}2^\circ=155{,}8^\circ \]
Оба варианта возможны, поэтому будет два треугольника.
Первый случай:
\[ \angle B_1=180^\circ-20^\circ-24{,}2^\circ=135{,}8^\circ \]
\[ AC_1=\frac{BC\sin B_1}{\sin A} =\frac{5\sin135{,}8^\circ}{\sin20^\circ} \approx\frac{5\cdot0{,}6977}{0{,}3420} \approx10{,}20 \]
Второй случай:
\[ \angle B_2=180^\circ-20^\circ-155{,}8^\circ=4{,}2^\circ \]
\[ AC_2=\frac{5\sin4{,}2^\circ}{\sin20^\circ} \approx\frac{5\cdot0{,}0733}{0{,}3420} \approx1{,}08 \]
Ответ: два решения:
\[ \angle C\approx24{,}2^\circ,\quad \angle B\approx135{,}8^\circ,\quad AC\approx10{,}20; \]
\[ \angle C\approx155{,}8^\circ,\quad \angle B\approx4{,}2^\circ,\quad AC\approx1{,}08. \]
7) Дано: \(BC=3,\ AB=6,\ \angle A=40^\circ\)
По теореме синусов:
\[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C} \]
\[ \frac{3}{\sin40^\circ}=\frac{6}{\sin C} \]
\[ \sin C=\frac{6\sin40^\circ}{3} =2\sin40^\circ \approx2\cdot0{,}6428 \approx1{,}2856 \]
Но:
\[ \sin C\le1 \]
а здесь получилось \(1{,}2856>1\). Значит, угол \(C\) не существует, и такого треугольника нет.
Ответ: решений нет.
