Найдите НОД(n,d) если: а)n=3•5•7•7•11; d=5•5•7•11; б)n=756,d=720
Краткий ответ:
а) \(\operatorname{НОД}(n,d)=385\)
б) \(\operatorname{НОД}(n,d)=36\)
а) \(n=3\cdot5\cdot7\cdot7\cdot11\), \(d=5\cdot5\cdot7\cdot11\)
НОД находят по общим простым множителям, причём каждый берут в наименьшей степени, которая есть в обоих числах.
Сравниваем:
- \(5\): у \(n\) одна \(5\), у \(d\) две \(5\), значит берём \(5^1\);
- \(7\): у \(n\) две \(7\), у \(d\) одна \(7\), значит берём \(7^1\);
- \(11\): есть в обоих числах, берём \(11\);
- \(3\): есть только у \(n\), не берём.
Получаем:
\[ \operatorname{НОД}=5\cdot7\cdot11=385 \]
Проверка:
\[ n=385\cdot21,\qquad d=385\cdot5 \]
Числа \(21\) и \(5\) общих множителей, кроме \(1\), не имеют, значит \(385\) — наибольший общий делитель.
б) \(n=756,\ d=720\)
Разложим на простые множители:
\[ 756=2^2\cdot3^3\cdot7 \]
так как \(4\cdot27\cdot7=756\);
\[ 720=2^4\cdot3^2\cdot5 \]
так как \(16\cdot9\cdot5=720\).
Общие простые множители — \(2\) и \(3\). Берём меньшие степени:
\[ 2^2\cdot3^2=4\cdot9=36 \]
Значит,
\[ \operatorname{НОД}(756,720)=36 \]
Проверка:
\[ 756:36=21,\qquad 720:36=20 \]
У чисел \(21\) и \(20\) общих делителей нет, значит \(36\) — наибольший.
Ответ:
\[
\boxed{\text{а) }385\qquad \text{б) }36}
\]
