Реши задание на изображении

На фото несколько задач: 4.22–4.27. Краткие ответы:

Главный приём для 4.23–4.25

Если через точки отрезка провести параллельные прямые до плоскости \(\alpha\), то расстояния до плоскости вдоль этих прямых меняются «линейно». Для середины:

\[ h_C=\frac{h_A+h_B}{2}. \]

При этом точки по разные стороны плоскости имеют разные знаки расстояний.

4.22

Пусть прямая через \(M\) пересекает \(a\) в точке \(A\), а \(b\) — в точке \(B\). Так как \(a\parallel b\), прямые \(a\) и \(b\) лежат в некоторой плоскости \(\beta\). Тогда \(A,B\in\beta\), значит, прямая \(AB\) лежит в \(\beta\). Но \(M\in AB\), поэтому \(M\in\beta\). Следовательно, \(a,b\) и \(M\) лежат в одной плоскости.

4.23

\(C\) — середина \(AB\), а \(A\) и \(B\) лежат по разные стороны плоскости. Поэтому

\[ CC_1=\frac{|AA_1-BB_1|}{2} =\frac{|16-8|}{2}=4\text{ см}. \]

Ответ: 4 см.

4.24

Пусть \(AA_1=x\). Так как \(A\) и \(C\) по разные стороны плоскости, возьмём \(h_A=-x\), \(h_C=4\), \(h_B=10\).

Отношение \(AC:CB=5:3\), значит,

\[ h_C=\frac{3h_A+5h_B}{8}. \]

Подставляем:

\[ 4=\frac{3(-x)+5\cdot 10}{8}, \]

\[ 32=-3x+50,\qquad 3x=18,\qquad x=6. \]

Ответ: 6 см.

4.25

\(M\) — середина \(AC\), поэтому

\[ MM_1=\frac{AA_1+CC_1}{2} =\frac{17+13}{2}=15. \]

\(O\) — середина \(BM\), значит,

\[ OO_1=\frac{BB_1+MM_1}{2}. \]

\[ 12=\frac{BB_1+15}{2}, \]

\[ BB_1=9. \]

Ответ: 9 см.

4.26

Центроид грани \(ADC\): \[ G_1=\frac{A+C+D}{3}. \] Центроид грани \(BDC\): \[ G_2=\frac{B+C+D}{3}. \]

Тогда

\[ G_1G_2=\frac{|AB|}{3}=\frac{6}{3}=2\text{ см}. \]

Ответ: 2 см.

4.27

Аналогично, для граней \(AMD\) и \(DMC\):

\[ G_1G_2=\frac{AC}{3}. \]

\(AC\) — диагональ квадрата со стороной \(12\):

\[ AC=12\sqrt2. \]

Значит,

\[ G_1G_2=\frac{12\sqrt2}{3}=4\sqrt2\text{ см}. \]

Ответ: \(4\sqrt2\) см.