Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360

Краткий ответ: да, сумма таких внешних углов всегда равна \(360^\circ\).

Пусть у выпуклого \(n\)-угольника внутренние углы равны
\[ \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n, \] а внешние —
\[ \beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n. \]

1. Связь внешнего и внутреннего углов

При каждой вершине внутренний и внешний углы смежные, поэтому \[ \alpha_i+\beta_i=180^\circ, \] то есть \[ \beta_i=180^\circ-\alpha_i. \]

2. Сумма внешних углов

Сложим все внешние углы: \[ \sum_{i=1}^{n}\beta_i = \sum_{i=1}^{n}(180^\circ-\alpha_i) = 180^\circ n-\sum_{i=1}^{n}\alpha_i. \]

Сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника: \[ \sum_{i=1}^{n}\alpha_i=(n-2)\cdot180^\circ. \]

Подставляем: \[ \sum_{i=1}^{n}\beta_i = 180^\circ n-(n-2)\cdot180^\circ = 180^\circ n-180^\circ n+360^\circ = 360^\circ. \]

3. Наглядно

Можно представить, что мы идём по периметру многоугольника. В каждой вершине приходится поворачивать на внешний угол. Совершив полный обход, мы сделаем ровно один полный поворот, то есть \(360^\circ\). Значит, сумма всех поворотов, а это и есть сумма внешних углов, равна \(360^\circ\).

Проверка: у квадрата каждый внешний угол равен \(90^\circ\), всего углов 4: \[ 4\cdot90^\circ=360^\circ. \]