Сделай 1.201
Краткий ответ
\[ \begin{aligned} \text{а)}&\ 1;& \text{б)}&\ 27;& \text{в)}&\ 1000;& \text{г)}&\ \frac1{25};\\ \text{д)}&\ 8;& \text{е)}&\ 1;& \text{ж)}&\ 3^{18}=387\,420\,489;& \text{з)}&\ 5^{16}=152\,587\,890\,625. \end{aligned} \]
Как решать
Нужно приводить основания к одному простому числу и применять свойства степеней:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}, \] \[ a^{-n}=\frac1{a^n},\qquad a^0=1. \]
Также полезно помнить: \(4=2^2,\ 8=2^3,\ 9=3^2,\ 27=3^3,\ 25=5^2,\ 125=5^3\).
Решение по пунктам
а) \[ 8^{-2}\cdot4^3=(2^3)^{-2}\cdot(2^2)^3=2^{-6}\cdot2^6=2^0=1. \]
б) \[ 9^{-6}\cdot27^5=(3^2)^{-6}\cdot(3^3)^5 =3^{-12}\cdot3^{15}=3^3=27. \]
в) \[ 10^0:10^{-3}=10^{0-(-3)}=10^3=1000. \]
г) \[ 125^{-4}:25^{-5}=(5^3)^{-4}:(5^2)^{-5} =5^{-12}:5^{-10}=5^{-12-(-10)} =5^{-2}=\frac1{25}. \]
д) \[ \frac{2^{21}}{4^3\cdot4^6} =\frac{2^{21}}{4^9} =\frac{2^{21}}{(2^2)^9} =\frac{2^{21}}{2^{18}}=2^3=8. \]
е) \[ \frac{4^2\cdot8^6}{2^{22}} =\frac{(2^2)^2\cdot(2^3)^6}{2^{22}} =\frac{2^4\cdot2^{18}}{2^{22}} =\frac{2^{22}}{2^{22}}=1. \]
ж) В знаменателе показатель \(8\) — чётный, поэтому \((-3)^8=3^8\): \[ \frac{3^{10}\cdot9^8}{(-3)^8} =\frac{3^{10}\cdot(3^2)^8}{3^8} =\frac{3^{10}\cdot3^{16}}{3^8} =3^{10+16-8}=3^{18}. \]
з) \[ \frac{5^5\cdot25^{10}}{125^3} =\frac{5^5\cdot(5^2)^{10}}{(5^3)^3} =\frac{5^5\cdot5^{20}}{5^9} =5^{5+20-9}=5^{16}. \]
Общий принцип: сначала заменяем числа степенями с одинаковым основанием, затем складываем показатели при умножении, вычитаем при делении и умножаем при возведении степени в степень.
Обсуждение
4 сообщенияСделай 1.210
.
Пришли, пожалуйста, фото или текст задания 1.210 — по одному номеру условие не видно. Тогда сразу решу его с объяснением.
1.210. Представьте степень в виде произведения:
Используем правила: \[ (xy)^n=x^ny^n,\qquad (x^m)^n=x^{mn},\qquad x^{-k}=\frac1{x^k}. \]
а)
\[
(a^{-1}b^{-1})^{-2}=a^{2}b^{2}.
\]
б)
\[
(x^{2}y^{-1})^{-2}=x^{-4}y^{2}=\frac{y^{2}}{x^{4}}.
\]
в)
\[
(0{,}5a^{-3}b^{5})^{-12}
=0{,}5^{-12}a^{36}b^{-60}.
\]
Так как
\[
0{,}5^{-12}=\left(\frac12\right)^{-12}=2^{12}=4096,
\]
то
\[
(0{,}5a^{-3}b^{5})^{-12}
=4096a^{36}b^{-60}
=\frac{4096a^{36}}{b^{60}}.
\]
г)
\[
(-2m^{5}n^{-3})^{2}
=(-2)^2m^{10}n^{-6}
=4m^{10}n^{-6}
=\frac{4m^{10}}{n^{6}}.
\]
д)
\[
\left(\frac13 b^{2}c^{6}\right)^{3}
=\left(\frac13\right)^3 b^{6}c^{18}
=\frac{1}{27}b^{6}c^{18}.
\]
е)
\[
(-0{,}5x^{4}y^{3})^{2}
=0{,}25x^{8}y^{6}
=\frac{x^{8}y^{6}}{4}.
\]
Итог: \[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{а) }a^2b^2;\\ &\text{б) }x^{-4}y^2=\frac{y^2}{x^4};\\ &\text{в) }4096a^{36}b^{-60}=\frac{4096a^{36}}{b^{60}};\\ &\text{г) }4m^{10}n^{-6}=\frac{4m^{10}}{n^6};\\ &\text{д) }\frac{1}{27}b^6c^{18};\\ &\text{е) }0{,}25x^8y^6=\frac{x^8y^6}{4}. \end{aligned}} \]
