Решение

Считаю \(\log_4^2 x=(\log_4 x)^2\), \(\lg x=\log_{10}x\).

Краткие ответы

Вариант 1

1. \(\{0;3\}\)
2. \(13\)
3. \(\{16;\sqrt[3]{4}\}\)
4. \((-1;-\frac34]\)
5. \((\frac13;4)\)
6. \(\{3;\frac19\}\)

Вариант 2

1. \(\{-9;1\}\)
2. \(-1\)
3. \(\{100;10^{-20/9}\}\)
4. \((1;+\infty)\)
5. \((2;+\infty)\)
6. \(\{100\}\)

Вариант 1: как получены ответы

1. \(\log_{1/3}(x^2-3x+1)=0\)

Логарифм равен \(0\), когда аргумент равен \(1\): \[ x^2-3x+1=1 \Rightarrow x^2-3x=0 \Rightarrow x(x-3)=0. \] Оба числа дают положительный аргумент, значит оба подходят.

2. \(\lg(x-9)+\lg(2x-1)=2\)

ОДЗ: \(x>9\). Сумма логарифмов: \[ \lg((x-9)(2x-1))=2 \Rightarrow (x-9)(2x-1)=100. \] \[ 2x^2-19x-91=0,\quad D=1089=33^2, \] \[ x=\frac{19\pm33}{4}. \] Корни: \(13\) и \(-3{,}5\). По ОДЗ \(x>9\), поэтому остаётся только \(13\).

3. \(3\log_4^2x-7\log_4x+2=0\)

Замена \(t=\log_4x\), \(x>0\): \[ 3t^2-7t+2=0. \] \[ t=\frac{7\pm5}{6}=2;\quad \frac13. \] Тогда \[ \log_4x=2 \Rightarrow x=16, \] \[ \log_4x=\frac13 \Rightarrow x=4^{1/3}=\sqrt[3]{4}. \]

4. \(\log_{16}(x+1)\le -0{,}5\)

ОДЗ: \(x+1>0\), то есть \(x>-1\).

Так как основание \(16>1\), знак неравенства сохраняется: \[ x+1\le 16^{-0{,}5}=\frac14. \] \[ x\le -\frac34. \] С учётом ОДЗ: \[ -1<x\le -\frac34. \]

5. \(\log_4(3x-1)<\log_4(2x+3)\)

ОДЗ: \[ 3x-1>0,\quad 2x+3>0 \Rightarrow x>\frac13. \] Основание \(4>1\), поэтому сравниваем аргументы: \[ 3x-1<2x+3 \Rightarrow x<4. \] Пересечение: \[ \frac13<x<4. \]

6. \(x^{\log_3x}=\frac9x\)

ОДЗ: \(x>0\). Пусть \(t=\log_3x\), тогда \(x=3^t\): \[ x^{\log_3x}=(3^t)^t=3^{t^2}, \] \[ \frac9x=\frac{3^2}{3^t}=3^{2-t}. \] Значит: \[ t^2=2-t \Rightarrow t^2+t-2=0. \] \[ t=1 \quad\text{или}\quad t=-2. \] Тогда \[ x=3^1=3,\qquad x=3^{-2}=\frac19. \]

Вариант 2: как получены ответы

1. \(\log_{1/3}(x^2+8x)=-2\)

По определению логарифма: \[ x^2+8x=\left(\frac13\right)^{-2}=9. \] \[ x^2+8x-9=0 \Rightarrow (x+9)(x-1)=0. \] Корни \(-9\) и \(1\); оба дают положительный аргумент.

2. \(\log_{0{,}4}(x+2)+\log_{0{,}4}(x+3)=\log_{0{,}4}(1-x)\)

ОДЗ: \[ x+2>0,\quad x+3>0,\quad 1-x>0, \] то есть \[ -2<x<1. \] Сумма логарифмов: \[ \log_{0{,}4}((x+2)(x+3))=\log_{0{,}4}(1-x). \] Поскольку логарифм с одним и тем же основанием — взаимно однозначная функция: \[ (x+2)(x+3)=1-x. \] \[ x^2+5x+6=1-x \Rightarrow x^2+6x+5=0, \] \[ (x+5)(x+1)=0. \] Корни \(-5\) и \(-1\). В ОДЗ \(-2<x<1\) попадает только \(-1\). Корень \(-5\) отбрасываем: при нём \(\log_{0{,}4}(x+2)\) не существует.

3. \(9\lg^2x+2\lg x-40=0\)

ОДЗ: \(x>0\). Пусть \(t=\lg x\): \[ 9t^2+2t-40=0, \] \[ D=4+1440=1444=38^2, \] \[ t=\frac{-2\pm38}{18}. \] \[ t=2,\qquad t=-\frac{20}{9}. \] Тогда \[ x=10^2=100,\qquad x=10^{-20/9}. \]

4. \(\log_3(3x-2)>0\)

ОДЗ: \[ 3x-2>0 \Rightarrow x>\frac23. \] Так как \[ 0=\log_3 1, \] а основание \(3>1\), получаем: \[ 3x-2>1 \Rightarrow x>1. \] Это уже сильнее условия \(x>\frac23\), поэтому ответ: \[ x>1. \]

5. \(\log_2(2x-1)>\log_2(x+1)\)

ОДЗ: \[ 2x-1>0,\quad x+1>0 \Rightarrow x>\frac12. \] Основание \(2>1\), поэтому: \[ 2x-1>x+1 \Rightarrow x>2. \] Это условие автоматически даёт \(x>\frac12\), значит ответ: \[ x>2. \]

6. \(x^{0{,}5\lg x}=0{,}01x^2\)

ОДЗ: \(x>0\). Пусть \(t=\lg x\), тогда \(x=10^t\): \[ x^{0{,}5\lg x}=(10^t)^{0{,}5t}=10^{t^2/2}. \] Правая часть: \[ 0{,}01x^2=10^{-2}\cdot10^{2t}=10^{2t-2}. \] Значит: \[ \frac{t^2}{2}=2t-2. \] \[ t^2=4t-4 \Rightarrow t^2-4t+4=0 \Rightarrow (t-2)^2=0. \] \[ t=2 \Rightarrow \lg x=2 \Rightarrow x=100. \]

Что важно запомнить

• Сначала находим ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным.
• Для уравнения \(\log_a f=b\) выполняется \(f=a^b\).
• При сложении логарифмов \(\lg f+\lg g=\lg(fg)\), но обязательно нужно учитывать, что \(f>0\) и \(g>0\).
• В неравенствах при основании \(a>1\) знак сравнения аргументов сохраняется, а при \(0<a<1\) — меняется на противоположный.
• После замены \(t=\log_a x\) не забудьте вернуться к \(x=a^t\) и проверить ОДЗ.
• Во всех решениях корни проверены по ОДЗ; в неравенствах границы включены или исключены по знаку неравенства и области определения.