Реши с дано, решение и с рисунком

На фото 5 задач — решаю все. Рисунки схематичные, без масштаба.

51

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle A=45^\circ\), \(\angle B=60^\circ\), \(BC=9\sqrt6\).
Найти: \(AC\).

Рисунок:

          B
         / \
        /   \  BC = 9√6
       /     \
      A-------C
   ∠A=45°  ∠B=60°

Решение. По теореме синусов: \[ \frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A} \] \[ AC=BC\cdot \frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ} =9\sqrt6\cdot \frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2} =9\sqrt6\cdot \sqrt{\frac32} =9\sqrt9=27 \]

Ответ: \(AC=27\).

52

Дано: \(AB=4\), \(BC=6\), \(AC=8\).
Найти: \(\cos\angle ABC\).

Рисунок:

          B
         / \
     4  /   \ 6
       /     \
      A-------C
          8

Решение. По теореме косинусов для угла \(B\): \[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B \] \[ 8^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cdot\cos B \] \[ 64=16+36-48\cos B \] \[ 64=52-48\cos B \] \[ -48\cos B=12 \] \[ \cos B=-\frac14 \]

Ответ: \(\cos\angle ABC=-\frac14\).

47

Дано: равнобедренный треугольник, площадь \(S=121\sqrt3\), угол напротив основания \(120^\circ\).
Найти: боковую сторону.

Рисунок:

          B
         / \
        /   \  боковые стороны равны x
       /120° \
      A-------C

Решение. Пусть боковая сторона равна \(x\). Тогда площадь: \[ S=\frac12 x^2\sin120^\circ =\frac12 x^2\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{x^2\sqrt3}{4} \] \[ \frac{x^2\sqrt3}{4}=121\sqrt3 \] \[ x^2=484 \] \[ x=22 \]

Ответ: боковая сторона равна \(22\).

48

Дано: прямоугольный треугольник, площадь \(S=128\sqrt3\), один острый угол \(30^\circ\).
Найти: гипотенузу.

Рисунок:

      B
      |\
      | \
      |  \  гипотенуза c
    b |   \
      |____\
      A 30° C

Решение. В прямоугольном треугольнике с углом \(30^\circ\) катеты относятся как \(1:\sqrt3\), а гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета.

Пусть катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен \(x\). Тогда второй катет равен \(x\sqrt3\).

\[ S=\frac12\cdot x\cdot x\sqrt3 =\frac{x^2\sqrt3}{2} \] \[ \frac{x^2\sqrt3}{2}=128\sqrt3 \] \[ x^2=256 \] \[ x=16 \] Гипотенуза: \[ c=2x=32 \]

Ответ: гипотенуза равна \(32\).

34

Дано: \(\triangle ABC\), \(AB=BC\), высота \(AH\) делит \(BC\) на отрезки \(BH=24\), \(CH=16\).
Найти: \(\cos B\).

Рисунок:

          A
          |\
       32 | \ 40
          |  \
          B---H------C
            24   16

Решение.
\[ BC=BH+HC=24+16=40 \] Так как \(AB=BC\), то \[ AB=40 \] В прямоугольном треугольнике \(ABH\): \[ \cos B=\frac{BH}{AB} =\frac{24}{40} =\frac35=0{,}6 \]

Ответ: \(\cos B=\frac35=0{,}6\).

Отдельные картинки-файлы я прикрепить не могу — рисунки были сделаны схемами из символов. Даю их заново, крупнее, с размерами, чтобы каждую можно было точно построить.

№ 51

            B
           / \
          /60°\
         /     \
        /       \  9√6
       /         \
      A-----------C
        ∠A = 45°, ∠C = 75°

Построение: отложить \(BC=9\sqrt6\); при \(B\) построить угол \(60^\circ\), при \(C\) — угол \(75^\circ\); точка пересечения лучей — \(A\). Проверка: \(AC=27\).

№ 52

            B
           / \
        4 /   \ 6
         /     \
        A-------C
            8

Построение: три стороны \(4\), \(6\), \(8\) (угол \(B\) тупой, поэтому \(B\) «вытянута» влево). Проверка: \(\cos B=-\tfrac14\).

№ 47

              B
             / \
            /120°\
           /     \
          /       \
         A---------C
        22         22

Построение: равнобедренный треугольник с вершиной \(B\), \(\angle B=120^\circ\), боковые стороны \(AB=BC=22\); основание \(AC=2\cdot22\sin60^\circ=22\sqrt3\approx38{,}1\). Проверка площади: \(121\sqrt3\).

№ 48

         C
         |\
         | \
      16 |  \ 32
         |   \
         |____\
         B     A
          16√3
        ∠B = 90°, ∠A = 30°

Построение: прямой угол при \(B\), катет \(BC=16\), катет \(AB=16\sqrt3\approx27{,}7\), гипотенуза \(AC=32\). Проверка площади: \(128\sqrt3\).

№ 34

              A
              |\
              | \
           32 |  \ 40
              |   \
              B----H--------C
                24    16

Построение: отрезок \(BC=40\); точка \(H\) на нём так, что \(BH=24\), \(HC=16\); в \(H\) восставить перпендикуляр \(HA=32\) (т.к. \(AH=\sqrt{40^2-24^2}=32\)); соединить \(A\) с \(B\) и \(C\). Тогда \(AB=40=BC\). Проверка: \(\cos B=0{,}6\).

Если нужно, распишу построение любой из фигур по шагам с циркулем и линейкой.