Реши 72 и 82 под а подробно распиши решение

Беру пункт а) в обоих номерах.

№ 72, а)

Краткий ответ. Сечение — треугольник \(MNK\), где
\(N\) — середина \(DB\), \(K\) — середина \(DC\).
Этот треугольник параллелен грани \(ABC\) и подобен ей с коэффициентом \(\frac12\).

Построение

1. На ребре \(AD\) уже отмечена точка \(M\) — его середина.
2. Отметь \(N\) — середину ребра \(DB\).
3. Отметь \(K\) — середину ребра \(DC\).
4. Соедини точки \(M\), \(N\), \(K\).

Получился треугольник \(MNK\) — искомое сечение.

Почему это верно

• \(MN\) — средняя линия треугольника \(DAB\), поэтому
  \[ MN \parallel AB. \]
• \(MK\) — средняя линия треугольника \(DAC\), поэтому
  \[ MK \parallel AC. \]

В плоскости \(MNK\) есть две пересекающиеся прямые \(MN\) и \(MK\), которые параллельны двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(AC\) плоскости \(ABC\). Значит, по признаку параллельности плоскостей
\[ (MNK)\parallel (ABC). \] При этом точка \(M\) лежит в плоскости \(MNK\). Значит, это именно та плоскость, которая проходит через \(M\) параллельно грани \(ABC\).

Дополнительно \(NK\) — средняя линия треугольника \(DBC\), поэтому
\[ NK\parallel BC. \]

Проверка:
\[ MN=\frac12 AB,\qquad MK=\frac12 AC,\qquad NK=\frac12 BC. \] То есть сечение — уменьшенная копия треугольника \(ABC\) с коэффициентом \(\frac12\).

№ 82, а)

Краткий ответ. Сечение — четырёхугольник \(PQRS\), вершины которого лежат на боковых рёбрах: \[ P\in AA_1,\quad Q\in BB_1,\quad R\in CC_1,\quad S\in DD_1. \] Все стороны сечения параллельны соответствующим сторонам основания: \[ PQ\parallel AB,\quad QR\parallel BC,\quad RS\parallel CD,\quad SP\parallel DA. \]

В общем случае это параллелограмм, соответствующий основанию; в прямоугольном параллелепипеде — прямоугольник.

Построение

1. В грани \(ABB_1A_1\) через точку \(M\) проведи прямую, параллельную \(AB\).
   Пусть она пересекает ребро \(AA_1\) в точке \(P\), а ребро \(BB_1\) — в точке \(Q\).
2. В грани \(BCC_1B_1\) через \(Q\) проведи прямую, параллельную \(BC\).
   Пусть она пересекает \(CC_1\) в точке \(R\).
3. В грани \(ADD_1A_1\) через \(P\) проведи прямую, параллельную \(AD\).
   Пусть она пересекает \(DD_1\) в точке \(S\).
4. Соедини \(R\) и \(S\).

Четырёхугольник \(PQRS\) — искомое сечение.

Почему это верно

Плоскость сечения проходит через прямые \(PQ\) и \(QR\), причём \[ PQ\parallel AB,\qquad QR\parallel BC. \] Прямые \(AB\) и \(BC\) пересекаются, поэтому по признаку параллельности плоскостей плоскость \(PQRS\) параллельна плоскости основания \(ABCD\).

Так как точка \(M\) лежит на прямой \(PQ\), построенная плоскость проходит через \(M\). А через точку можно провести только одну плоскость, параллельную данной плоскости.

Кроме того, по свойству параллельных плоскостей:

• в грани \(DCC_1D_1\) линия сечения \(RS\parallel CD\);
• в грани \(ADD_1A_1\) линия сечения \(SP\parallel AD\).

Проверка:
\[ PQ\parallel AB,\quad QR\parallel BC,\quad RS\parallel CD,\quad SP\parallel AD. \] Противоположные стороны параллельны, значит, \(PQRS\) — параллелограмм. На чертеже точка \(M\) должна оказаться на отрезке \(PQ\).

Общий принцип

Если плоскость параллельна какой-то плоскости, то при пересечении с гранями она даёт отрезки, параллельные соответствующим линиям этой грани с данной плоскостью. Поэтому почти всегда нужно проводить линии параллельно рёбрам основания.