Как решается
Коротко:
\[ \text{а) }\frac{x+5}{x(5-x)},\quad x\ne0,\ \pm5; \]
\[ \text{б) }\frac{x+3}{x^2-3x+9},\quad x\ne-3; \]
\[ \text{в) }\frac{x^2-x+14}{x(x-6)},\quad x\ne0,\ 6. \]
Общий принцип
- Разложить знаменатели на множители.
- Найти общий знаменатель.
- Привести дроби к нему и сложить числители.
- Сократить, если можно.
- Учесть, что знаменатель не может быть равен нулю.
а)
\[ \frac{5}{x^2+5x}+\frac{x+15}{25-x^2} \]
Разложим знаменатели:
\[ x^2+5x=x(x+5), \] \[ 25-x^2=(5-x)(5+x). \]
Общий знаменатель:
\[ x(x+5)(5-x). \]
Приводим:
\[ \frac{5(5-x)+x(x+15)}{x(x+5)(5-x)}. \]
Раскрываем числитель:
\[ 25-5x+x^2+15x=x^2+10x+25=(x+5)^2. \]
Получаем:
\[ \frac{(x+5)^2}{x(x+5)(5-x)} =\frac{x+5}{x(5-x)}. \]
Ограничения: \(x\ne0,\ x\ne5,\ x\ne-5\), потому что при этих значениях исходные знаменатели обращаются в ноль.
б)
\[ \frac{1}{x+3}+\frac{9x}{x^3+27} \]
Используем формулу суммы кубов:
\[ x^3+27=x^3+3^3=(x+3)(x^2-3x+9). \]
Приводим первую дробь к общему знаменателю:
\[ \frac{x^2-3x+9}{(x+3)(x^2-3x+9)}+\frac{9x}{(x+3)(x^2-3x+9)}. \]
Складываем числители:
\[ x^2-3x+9+9x=x^2+6x+9=(x+3)^2. \]
Тогда:
\[ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x^2-3x+9)} =\frac{x+3}{x^2-3x+9}. \]
Ограничение: \(x\ne-3\), иначе \(x+3=0\).
в)
\[ \frac{2}{x^2-6x}+\frac{12}{x^2-6x}-\frac{1-x}{x-6} \]
Первые две дроби имеют одинаковый знаменатель:
\[ \frac{2+12}{x^2-6x}=\frac{14}{x(x-6)}. \]
Теперь общий знаменатель с третьей дробью — \(x(x-6)\):
\[ \frac{14}{x(x-6)}-\frac{1-x}{x-6} = \frac{14-x(1-x)}{x(x-6)}. \]
Раскрываем числитель:
\[ 14-x+x^2=x^2-x+14. \]
Значит:
\[ \frac{x^2-x+14}{x(x-6)}. \]
Числитель дальше не раскладывается на множители с целыми коэффициентами. Ограничения: \(x\ne0,\ x\ne6\).
Проверка: например, в пункте а) при \(x=1\):
\[ \frac56+\frac{16}{24}=1{,}5, \]
и по полученной формуле:
\[ \frac{1+5}{1\cdot(5-1)}=\frac64=1{,}5. \]
Всё сходится.
