Реши задание на изображении
Краткий ответ
\[ \text{а) }\frac{x+5}{x(5-x)}=-\frac{x+5}{x(x-5)} \] \[ \text{б) }\frac{x+3}{x^2-3x+9} \] \[ \text{в) }\frac{x+1}{x-6} \]
При допустимых значениях \(x\). Ограничения укажем в решении.
Как это решать
Главный принцип: разложить знаменатели на множители → привести к общему знаменателю → сложить или вычесть числители → сократить. Важно: после сокращения старые ограничения на \(x\) всё равно сохраняются.
а)
\[ \frac{5}{x^2+5x}+\frac{x+15}{25-x^2} \]
Раскладываем знаменатели:
\[ x^2+5x=x(x+5), \qquad 25-x^2=(5-x)(5+x) \]
Общий знаменатель:
\[ x(x+5)(5-x) \]
Приводим:
\[ =\frac{5(5-x)+x(x+15)}{x(x+5)(5-x)} \]
Раскрываем числитель:
\[ 5(5-x)+x(x+15)=25-5x+x^2+15x=x^2+10x+25=(x+5)^2 \]
Получаем:
\[ \frac{(x+5)^2}{x(x+5)(5-x)} =\frac{x+5}{x(5-x)} \]
Ограничения из исходного выражения:
\[ x\ne 0,\quad x\ne 5,\quad x\ne -5 \]
б)
\[ \frac{1}{x+3}+\frac{9x}{x^3+27} \]
Используем формулу суммы кубов:
\[ x^3+27=x^3+3^3=(x+3)(x^2-3x+9) \]
Общий знаменатель:
\[ (x+3)(x^2-3x+9) \]
\[ =\frac{x^2-3x+9+9x}{(x+3)(x^2-3x+9)} \]
\[ x^2-3x+9+9x=x^2+6x+9=(x+3)^2 \]
Сокращаем на \(x+3\):
\[ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x^2-3x+9)} = \frac{x+3}{x^2-3x+9} \]
Ограничение:
\[ x\ne -3 \]
в)
Первую дробь читаем как \(\frac{2}{x}\):
\[ \frac{2}{x}+\frac{12}{x^2-6x}-\frac{1-x}{x-6} \]
\[ x^2-6x=x(x-6) \]
Общий знаменатель:
\[ x(x-6) \]
\[ =\frac{2(x-6)+12-x(1-x)}{x(x-6)} \]
Раскрываем числитель:
\[ 2x-12+12-x+x^2=x^2+x=x(x+1) \]
Получаем:
\[ \frac{x(x+1)}{x(x-6)} = \frac{x+1}{x-6} \]
Ограничения:
\[ x\ne 0,\quad x\ne 6 \]
Проверка пункта в): при \(x=2\) исходное выражение равно \(-\frac34\), и \(\frac{2+1}{2-6}=-\frac34\). Всё верно.
