Вариант 3 1) Даны векторы а{1; -2;4}, b{0; 5; -3},č{7; -6;4}. Найдите координаты вектора αー6-3t. 2) Даны векторы {4; -9;1}, 6{-11; 8;2}. Каким является угол между этими векторами (тупой, прямой или острый)? 3) Лежат ли точки А, В, С и D в одной плоскости, если А(3;5;-4), В(1;-1;-3), С(7;-2;- 6） HD（-1;3；-2）？ 4) Вычислите площадь ДАВС, вершины которого имеют координаты A（-3；-2；-4），B（-1；-4；-7），C（1；-2;2）. 5) Найдите сумму длин всех медиан треугольника, заданного координатами своих вершин: А(2;4;5), В(-2;4;3), С(10;8;13).

Краткие ответы

1. Если выражение \(\vec a-\vec b-3\vec c\), то
   \[ \vec a-\vec b-3\vec c=(-20;\;11;\;-5). \]

2. Угол между векторами — тупой.

3. Да, точки \(A,B,C,D\) лежат в одной плоскости.

4. Площадь \(\triangle ABC\) равна
   \[ 14. \]

5. Сумма длин медиан: \[ \sqrt{17}+2\sqrt{26}+\sqrt{197}\approx 28{,}36. \]

1) Вектор \(\vec a-\vec b-3\vec c\)

Дано: \[ \vec a=(1;-2;4),\quad \vec b=(0;5;-3),\quad \vec c=(7;-6;4). \]

Сначала: \[ 3\vec c=(21;-18;12), \] \[ \vec a-\vec b=(1-0;\;-2-5;\;4-(-3))=(1;-7;7). \]

Теперь вычитаем: \[ (1;-7;7)-(21;-18;12)=(-20;11;-5). \]

Ответ: \((-20;11;-5)\).

2) Как определить угол по скалярному произведению

Если \[ \vec a\cdot \vec b>0, \] то угол острый; если \(\vec a\cdot\vec b=0\), угол прямой; если \(\vec a\cdot\vec b<0\), угол тупой.

Считаем: \[ \vec a\cdot\vec b=4\cdot(-11)+(-9)\cdot8+1\cdot2, \] \[ =-44-72+2=-114<0. \] Значит, косинус угла отрицательный, поэтому угол тупой.

3) Проверка компланарности точек

Четыре точки лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда три вектора, выходящие из одной точки, компланарны. Это проверяется через смешанное произведение: оно должно быть равно нулю.

Возьмём векторы из точки \(A\): \[ \overrightarrow{AB}=(-2;-6;1), \] \[ \overrightarrow{AC}=(4;-7;-2), \] \[ \overrightarrow{AD}=(-4;-2;2). \]

Вычисляем определитель: \[ \begin{vmatrix} -2&-6&1\\ 4&-7&-2\\ -4&-2&2 \end{vmatrix}=0. \]

Смешанное произведение равно нулю, значит векторы лежат в одной плоскости. Следовательно, точки \(A,B,C,D\) компланарны.

4) Площадь треугольника через векторное произведение

\[ A(-3;-2;-4),\quad B(-1;-4;-7),\quad C(1;-2;2). \]

Найдём векторы: \[ \overrightarrow{AB}=(2;-2;-3), \] \[ \overrightarrow{AC}=(4;0;6). \]

Векторное произведение: \[ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-12;-24;8). \]

Его длина: \[ |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| =\sqrt{(-12)^2+(-24)^2+8^2} =\sqrt{144+576+64} =\sqrt{784}=28. \]

Площадь параллелограмма равна \(28\), а площадь треугольника — половина: \[ S_{\triangle ABC}=\frac{28}{2}=14. \]

5) Сумма длин медиан

Медиана идёт от вершины к середине противоположной стороны.

Вершины: \[ A(2;4;5),\quad B(-2;4;3),\quad C(10;8;13). \]

Медиана из \(A\) — к середине \(BC\): \[ M_{BC}=\left(\frac{-2+10}{2};\frac{4+8}{2};\frac{3+13}{2}\right)=(4;6;8). \] Длина: \[ AM_{BC}=\sqrt{(4-2)^2+(6-4)^2+(8-5)^2} =\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}. \]

Медиана из \(B\) — к середине \(AC\): \[ M_{AC}=\left(\frac{2+10}{2};\frac{4+8}{2};\frac{5+13}{2}\right)=(6;6;9). \] Длина: \[ BM_{AC}=\sqrt{(6+2)^2+(6-4)^2+(9-3)^2} =\sqrt{64+4+36}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}. \]

Медиана из \(C\) — к середине \(AB\): \[ M_{AB}=\left(\frac{2-2}{2};\frac{4+4}{2};\frac{5+3}{2}\right)=(0;4;4). \] Длина: \[ CM_{AB}=\sqrt{(0-10)^2+(4-8)^2+(4-13)^2} =\sqrt{100+16+81}=\sqrt{197}. \]

Сумма: \[ \sqrt{17}+2\sqrt{26}+\sqrt{197}. \]

Ответ:
\[ \boxed{\sqrt{17}+2\sqrt{26}+\sqrt{197}\approx 28{,}36} \]