Как это решать быстро

Коротко:

а) \(\displaystyle \frac{x+5}{x(5-x)}\)

б) \(\displaystyle \frac{x+3}{x^2-3x+9}\)

в) \(\displaystyle \frac{x+1}{x-6}\)

Как решать быстро

1. Сначала разложи все знаменатели на множители.
2. Общий знаменатель — это не всегда произведение всех знаменателей, а «самый маленький общий»: каждый множитель берём в нужной степени.
3. Умножаем числитель каждой дроби только на недостающий множитель.
4. Упрощаем числитель и сокращаем.
5. Ограничения \(x\) выписываем по исходным знаменателям, даже если потом множитель сократился.

а)

\[ x^2+5x=x(x+5),\qquad 25-x^2=(5-x)(5+x) \]

Общий знаменатель: \(x(x+5)(5-x)\).

\[ \frac{5}{x(x+5)}+\frac{x+15}{(5-x)(5+x)} = \frac{5(5-x)+x(x+15)}{x(x+5)(5-x)} \]

\[ 5(5-x)+x(x+15) =25-5x+x^2+15x =x^2+10x+25=(x+5)^2 \]

Сокращаем на \(x+5\):

\[ \frac{(x+5)^2}{x(x+5)(5-x)} = \frac{x+5}{x(5-x)} \]

б)

Используем формулу суммы кубов:

\[ x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9) \]

\[ \frac{1}{x+3}+\frac{9x}{(x+3)(x^2-3x+9)} = \frac{x^2-3x+9+9x}{(x+3)(x^2-3x+9)} \]

\[ x^2-3x+9+9x=x^2+6x+9=(x+3)^2 \]

Сокращаем на \(x+3\):

\[ \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x^2-3x+9)} = \frac{x+3}{x^2-3x+9} \]

в)

\[ x^2-6x=x(x-6) \]

Общий знаменатель: \(x(x-6)\).

\[ \frac2x+\frac{12}{x(x-6)}-\frac{1-x}{x-6} = \frac{2(x-6)+12-x(1-x)}{x(x-6)} \]

\[ 2(x-6)+12-x(1-x) =2x-12+12-x+x^2 =x^2+x=x(x+1) \]

Сокращаем на \(x\):

\[ \frac{x(x+1)}{x(x-6)}=\frac{x+1}{x-6} \]

Ограничения:

а) \(x\ne 0,\; x\ne 5,\; x\ne -5\)

б) \(x\ne -3\)

в) \(x\ne 0,\; x\ne 6\)

Проверка: при \(x=1\) все три исходных выражения и полученные ответы дают одинаковые значения.