Реши задание на изображении
Беру табличные плотности:
\(\rho_{\text{воды}}=1000\ \text{кг/м}^3\), \(\rho_{\text{керосина}}=800\ \text{кг/м}^3\), \(\rho_{\text{машинного масла}}=900\ \text{кг/м}^3\); \(g=10\ \text{Н/кг}\).
Краткие ответы
- Нет. При одинаковой высоте давление воды больше, чем керосина.
- \(p=2{,}0\cdot 10^5\ \text{Па}=200\ \text{кПа}\); \(F=16\ \text{Н}\).
- \(h_1=1{,}0\cdot 10^{-4}\ \text{м}=0{,}10\ \text{мм}\); \(h_2=10\ \text{м}\).
- \(S=6{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{м}^2=60\ \text{см}^2\).
- При равных массах: вода — \(9\ \text{см}\), масло — \(10\ \text{см}\).
При равных объёмах: по \(9{,}5\ \text{см}\). - Сила на дно в 2 раза больше, чем на одну стенку.
- Уровень воды не изменится.
Как это получается
Основная формула давления жидкости на глубине \(h\):
\[ p=\rho g h \]
Сила давления на площадку:
\[ F=pS \]
1. Вода и керосин
\[ p_{\text{воды}}=\rho_{\text{воды}}gh,\qquad p_{\text{керосина}}=\rho_{\text{керосина}}gh \]
Так как \(\rho_{\text{воды}}>\rho_{\text{керосина}}\), при одинаковой \(h\) давление воды больше. Поэтому ответ: неодинаково.
2. Ныряльщик
\[ p=\rho gh=1000\cdot 10\cdot 20{,}0=2{,}0\cdot 10^5\ \text{Па} \]
То есть \(200\ \text{кПа}\).
Площадь перепонки:
\[ S=0{,}80\ \text{см}^2=0{,}80\cdot 10^{-4}\ \text{м}^2 =8{,}0\cdot 10^{-5}\ \text{м}^2 \]
\[ F=pS=2{,}0\cdot 10^5\cdot 8{,}0\cdot 10^{-5} =16\ \text{Н} \]
Ответ: \(p=200\ \text{кПа}\), \(F=16\ \text{Н}\).
3. Толщина слоя воды
Из \(p=\rho gh\):
\[ h=\frac{p}{\rho g} \]
Для \(p_1=1{,}0\ \text{Па}\):
\[ h_1=\frac{1}{1000\cdot 10}=10^{-4}\ \text{м}=0{,}10\ \text{мм} \]
Для \(p_2=100\,000\ \text{Па}\):
\[ h_2=\frac{100\,000}{1000\cdot 10}=10\ \text{м} \]
4. Площадь доски
Давление столба воды высотой \(1{,}0\ \text{м}\):
\[ p=\rho gh=1000\cdot 10\cdot 1{,}0=10\,000\ \text{Па} \]
Общая сила от доски и гири:
\[ F=(m_1+m_2)g=(1{,}0+5{,}0)\cdot 10=60\ \text{Н} \]
\[ S=\frac{F}{p}=\frac{60}{10\,000}=0{,}006\ \text{м}^2 =60\ \text{см}^2 \]
Проверка: давление от груза \(60/0{,}006=10\,000\ \text{Па}\), как и давление воды. Сходится.
5. Вода и машинное масло
Пусть высоты слоёв:
\(h_{\text{в}}\) — воды, \(h_{\text{м}}\) — масла.
Полное гидростатическое давление на дно:
\[ p=g(\rho_{\text{в}}h_{\text{в}}+\rho_{\text{м}}h_{\text{м}}) \]
Случай равных масс
\[ m_{\text{в}}=m_{\text{м}} \]
При одинаковой площади сечения сосуда:
\[ \rho_{\text{в}}h_{\text{в}}=\rho_{\text{м}}h_{\text{м}} \]
Тогда оба слагаемых давления одинаковы:
\[ p=2g\rho_{\text{в}}h_{\text{в}} \]
\[ h_{\text{в}}=\frac{p}{2g\rho_{\text{в}}} =\frac{1800}{2\cdot 10\cdot 1000} =0{,}09\ \text{м}=9\ \text{см} \]
\[ h_{\text{м}}=\frac{\rho_{\text{в}}h_{\text{в}}}{\rho_{\text{м}}} =\frac{1000\cdot 0{,}09}{900} =0{,}10\ \text{м}=10\ \text{см} \]
Проверка:
\[ 1000\cdot 10\cdot 0{,}09+ 900\cdot 10\cdot 0{,}10 =900+900=1800\ \text{Па} \]
Случай равных объёмов
В цилиндрическом сосуде равные объёмы означают равные высоты:
\[ h_{\text{в}}=h_{\text{м}}=h \]
\[ p=gh(\rho_{\text{в}}+\rho_{\text{м}}) \]
\[ h=\frac{1800}{10(1000+900)} =\frac{1800}{19\,000} \approx 0{,}0947\ \text{м} \approx 9{,}5\ \text{см} \]
6. Куб с водой
Ребро куба \(a=1\ \text{м}\).
Сила на дно:
\[ F_{\text{дна}}=p_{\text{дна}}S =\rho ga\cdot a^2=\rho ga^3 \]
На стенке давление меняется от \(0\) до \(\rho ga\). Среднее давление на стенку:
\[ p_{\text{ср}}=\frac{\rho ga}{2} \]
\[ F_{\text{стенки}}=\frac{\rho ga}{2}\cdot a^2 =\frac{1}{2}\rho ga^3 \]
\[ \frac{F_{\text{дна}}}{F_{\text{стенки}}}=2 \]
При \(a=1\ \text{м}\):
\[ F_{\text{дна}}=10\,000\ \text{Н},\qquad F_{\text{стенки}}=5000\ \text{Н} \]
Сила на дно больше в 2 раза.
7. Плавучий лёд
Пока лёд плавает, он вытесняет воду объёмом
\[ V_{\text{выт}}=\frac{m_{\text{льда}}}{\rho_{\text{воды}}} \]
Когда лёд растает, получится вода массой \(m_{\text{льда}}\), её объём:
\[ V_{\text{раст}}=\frac{m_{\text{льда}}}{\rho_{\text{воды}}} \]
Объёмы равны. Значит, растаявшая вода занимает ровно тот объём, который раньше была вынуждена освободить подводная часть льда. Уровень воды не изменится.
