трудные вопросы по математике вопрос решение ответ

Решил обведённый вариант A1. Кратко: вопрос → решение → ответ.

1. Выполните действия

а) \(\dfrac{3x}{x-4}-\dfrac{x+8}{x-4}\)

Решение: \[ \frac{3x-(x+8)}{x-4}=\frac{2x-8}{x-4}=\frac{2(x-4)}{x-4}=2 \] Ответ: 2, при \(x\neq 4\).

б) \(\dfrac{y-x}{y^2-9}-\dfrac{x-3}{9-y^2}\)

Решение: так как \(9-y^2=-(y^2-9)\), \[ \frac{y-x}{y^2-9}+\frac{x-3}{y^2-9} =\frac{y-x+x-3}{y^2-9} =\frac{y-3}{(y-3)(y+3)}=\frac{1}{y+3} \] Ответ: \(\dfrac{1}{y+3}\), при \(y\neq \pm 3\).

2. Представьте в виде дроби

а) \(\dfrac{b-a}{ab}+\dfrac{b-a}{b^2}\)

Решение: \[ \frac{b(b-a)+a(b-a)}{ab^2} =\frac{b^2-ab+ab-a^2}{ab^2} =\frac{b^2-a^2}{ab^2} \] Ответ: \(\dfrac{b^2-a^2}{ab^2}\) (или \(\dfrac{(b-a)(b+a)}{ab^2}\)).

б) \(x^2+\dfrac{2x^2}{x-2}\)

Решение: \[ \frac{x^2(x-2)+2x^2}{x-2} =\frac{x^3-2x^2+2x^2}{x-2} =\frac{x^3}{x-2} \] Ответ: \(\dfrac{x^3}{x-2}\), при \(x\neq 2\).

3. Докажите, что значение выражения не зависит от \(y\)

\[ \frac{y^2-2y-3}{y^2-1}+\frac{4}{2y-2} \]

Решение: \[ y^2-2y-3=(y-3)(y+1),\qquad y^2-1=(y-1)(y+1) \] \[ \frac{y^2-2y-3}{y^2-1}=\frac{y-3}{y-1} \] \[ \frac{4}{2y-2}=\frac{4}{2(y-1)}=\frac{2}{y-1} \] \[ \frac{y-3}{y-1}+\frac{2}{y-1} =\frac{y-3+2}{y-1} =\frac{y-1}{y-1}=1 \] Ответ: при допустимых \(y\neq \pm 1\) выражение равно 1, то есть от \(y\) не зависит.

Если нужен ещё и вариант A2 — напишите, решу его отдельно.

1. Параллелограмм ABCD, AE = CK на диагонали AC

      B ———————— C
       \       /
        \  K  /      K лежит на AC, CK = AE
         \   /
          \ /
           O         O = AC ∩ BD
          / \
         /   \
        E     \
       /       \
      A ———————— D

Доказательство.

1. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам: \[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]
2. Точки \(E\) и \(K\) лежат на \(AC\), причём \(AE=CK\). Значит, они симметричны относительно середины \(O\): \[ OE=OK. \]
3. В четырёхугольнике \(BEDK\) диагонали \(BD\) и \(EK\) пересекаются в точке \(O\) и делятся ею пополам: \[ BO=OD,\qquad OE=OK. \] По признаку параллелограмма \(BEDK\) — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

2. Равнобедренная трапеция: основания 14 и 8 см, угол 120°

            8 см
      B —————————— C
     /|  120°      |\
    / |            | \      AB = CD = ?
   /  |            |  \
  A———H————————————G———D
      3      8      3
            14 см

Решение. Угол \(120^\circ\) — тупой, он при меньшем основании. Углы при большем основании: \[ \angle A=\angle D=180^\circ-120^\circ=60^\circ . \] Проведём высоты \(BH\) и \(CG\). Тогда \[ HG=BC=8\text{ см},\qquad AH=GD=\frac{14-8}{2}=3\text{ см}. \] В прямоугольном \(\triangle ABH\): \(\angle A=60^\circ\), \(AH=3\) — прилежащий катет, \(AB\) — гипотенуза: \[ AB=\frac{AH}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{0{,}5}=6\text{ см}. \]

Ответ: боковые стороны по \(6\) см.

1. Задача про параллелограмм (AE = CK)

       B—————————————————C
        \              K
         \          /
           \      /
            \  /
             O
           /  \
         /      \
       /          \
    E              \
  A—————————————————D

Что отметить на чертеже:

• \(ABCD\) — параллелограмм, \(AC\) и \(BD\) — диагонали, \(O=AC\cap BD\);
• \(E\in AC\) и \(K\in AC\) так, что \(AE=CK\) (точки симметричны относительно \(O\));
• \(OE=OK\) и \(BO=OD\) — это видно из чертежа, в доказательстве ссылаемся на это.

2. Равнобедренная трапеция (14 и 8 см, угол 120°)

              B ———————————— C
             /|120°   120°|\
            / |            | \
          6/  |            |  \6
          /   |            |   \
         /    |            |    \
        A ——— H —————————— G ——— D
        60°    3      8      3   60°
       |←———————— 14 см ————————→|

Что отметить на чертеже:

• \(AD=14\) см — нижнее (большее) основание, \(BC=8\) см — верхнее;
• \(\angle B=\angle C=120^\circ\), значит \(\angle A=\angle D=60^\circ\);
• \(BH\perp AD\), \(CG\perp AD\) — высоты;
• \(AH=GD=\dfrac{14-8}{2}=3\) см, \(HG=8\) см;
• боковые стороны \(AB=CD=6\) см (из \(\triangle ABH\): \(AB=\dfrac{3}{\cos 60^\circ}=6\)).

Как построить циркулем и линейкой: проведите \(AD=14\) см, отложите точки \(H\) и \(G\) на расстоянии 3 см от \(A\) и \(D\); восстановите перпендикуляры, отложите на них высоту \(3\sqrt3\approx5{,}2\) см — получите \(B\) и \(C\); соедините \(A\!-\!B\!-\!C\!-\!D\).