Реши задание на изображении

Краткий ответ

• при точности \(0{,}5\) доля положительного класса: \(\boxed{0{,}1}\) (или \(\frac{1}{10}\), 10%);
• при точности \(0{,}9\) доля положительного класса: \(\boxed{0{,}5}\) (или \(\frac12\), 50%).

Как это получается

Пусть всего объектов \(N\), а доля положительного класса \[ p=\frac{TP+FN}{N}. \] Тогда положительных объектов \(pN\), отрицательных \((1-p)N\).

Из полноты \(0{,}9\): \[ TP=0{,}9\,pN. \]

Из специфичности \(0{,}9\): \[ TN=0{,}9(1-p)N, \] поэтому \[ FP=(1-p)N-TN=0{,}1(1-p)N. \]

Точность: \[ \text{precision} =\frac{TP}{TP+FP} =\frac{0{,}9p}{0{,}9p+0{,}1(1-p)} =\frac{0{,}9p}{0{,}8p+0{,}1}. \]

Обозначим нужную точность через \(q\). Тогда \[ q=\frac{0{,}9p}{0{,}8p+0{,}1}. \] Отсюда \[ q(0{,}8p+0{,}1)=0{,}9p, \] \[ p=\frac{0{,}1q}{0{,}9-0{,}8q}. \]

Подставляем:

1. При \(q=0{,}5\): \[ p=\frac{0{,}1\cdot0{,}5}{0{,}9-0{,}8\cdot0{,}5} =\frac{0{,}05}{0{,}5}=0{,}1. \]

2. При \(q=0{,}9\): \[ p=\frac{0{,}1\cdot0{,}9}{0{,}9-0{,}8\cdot0{,}9} =\frac{0{,}09}{0{,}18}=0{,}5. \]

Проверка

Пусть всего \(1000\) объектов.

• Если \(p=0{,}1\): положительных \(100\), отрицательных \(900\).
  \(TP=90\), \(FP=90\). Тогда точность \[ \frac{90}{90+90}=0{,}5. \]

• Если \(p=0{,}5\): положительных \(500\), отрицательных \(500\).
  \(TP=450\), \(FP=50\). Тогда точность \[ \frac{450}{450+50}=0{,}9. \]

Главная идея: полнота и специфичность задают доли внутри каждого класса, а точность ещё зависит от того, насколько велика доля положительного класса.