346 347
346. Бастапқы функциялардың жалпы түрі:
а) \[ F(x)=x-\frac13\sin 3x+2\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+C \]
б) \[ F(x)=-\frac14\operatorname{ctg}4x-2\sqrt{2-x}-x^3+C \]
в) \[ F(x)=\frac23\operatorname{tg}(3x+1)-3\cos(4-x)+x^2+C \]
г) \[ F(x)=\frac{1}{8(3-2x)^4}+\frac65\sqrt{5x-2} +2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+C \]
347.
а) \[ F(x)=x^2+x \]
б) \[ F(x)=x^3-x^2+4 \]
в) \[ F(x)=\frac12x^2+2x+\frac12 \]
г) \[ F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac32x^2-\frac{13}{3} \]
Негізгі принцип. Бастапқы функция \(F\) үшін \(F'(x)=f(x)\). Сондықтан 346-да функцияны интегралдап, соңына \(+C\) жазамыз.
Сызықты \(kx+b\) өрнегі болса, ішкі коэффициентке бөлеміз: \[ \int \cos(kx+b)\,dx=\frac1k\sin(kx+b), \] \[ \int \sin(kx+b)\,dx=-\frac1k\cos(kx+b), \] \[ \int \frac{dx}{\sin^2(kx+b)} =-\frac1k\operatorname{ctg}(kx+b), \] \[ \int \frac{dx}{\sqrt{kx+b}} =\frac{2}{k}\sqrt{kx+b}. \]
Мысалы, 346-б-да \(\sqrt{2-x}\) үшін \(k=-1\), сондықтан таңбасы минус: \[ (-2\sqrt{2-x})'=\frac{1}{\sqrt{2-x}}. \]
347-де алдымен жалпы бастапқы функцияны жазып, \(M(x_0;y_0)\) нүктесі бойынша \(F(x_0)=y_0\) шартынан \(C\)-ны табамыз. Мысалы, 347-б: \[ F(x)=x^3-x^2+C,\qquad M(1;4), \] \[ 4=1-1+C \Rightarrow C=4. \] Сондықтан \(F(x)=x^3-x^2+4\).
Обсуждение
2 сообщенияМисалы г 347
347-г. Берілгені: \(f(x)=3x-x^2\), алғашқы функцияның графигі \(M(2;-1)\) нүктесі арқылы өтеді.
Алдымен жалпы алғашқы функцияны табамыз: \[ F(x)=\int (3x-x^2)\,dx =\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+C. \]
\(M(2;-1)\) нүктесі бойынша \(F(2)=-1\): \[ \frac{3\cdot 2^2}{2}-\frac{2^3}{3}+C=-1. \] \[ 6-\frac83+C=-1, \] \[ \frac{10}{3}+C=-1, \] \[ C=-1-\frac{10}{3}=-\frac{13}{3}. \]
Демек, \[ \boxed{F(x)=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}-\frac{13}{3}}. \]
Тексеру: \[ F'(x)=-x^2+3x=3x-x^2, \] ал \[ F(2)=-\frac83+6-\frac{13}{3}=-1. \] Сонымен шарт орындалады.
