Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ: \(x_1=2,\; x_2=3\).
На фотографии — страница по русскому языку (упражнения 50–52), уравнения там нет. Решаю уравнение из текста задания.
Как решать
Разложим квадратный трёхчлен на множители. Нужны два числа, которые:
- в произведении дают \(6\);
- в сумме дают \(5\).
Это \(2\) и \(3\).
Поэтому: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \] Проверка раскрытием скобок: \[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6 \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0 \] Значит: \[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3 \]
Проверка
При \(x=2\): \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0 \]
При \(x=3\): \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня подходят.
Принцип: если уравнение удаётся записать в виде произведения, равного нулю, то каждый множитель можно приравнять к нулю. Для \(x^2+px+q=0\) также работает теорема Виета: сумма корней равна \(-p\), а произведение — \(q\). Здесь \(2+3=5\), \(2\cdot3=6\).
