Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\(x^2-5x+6=0 \Rightarrow x_1=2,\; x_2=3\)

Проверка: \(2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\) ✓, \(3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\) ✓

Принцип: как это решают

Способ 1. По теореме Виета (быстро, если коэффициенты целые).

Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\) (коэффициент при \(x^2\) равен 1) корни удовлетворяют:

\[x_1+x_2=-p,\qquad x_1\cdot x_2=q\]

У нас \(p=-5\), \(q=6\), значит нужны два числа с суммой \(5\) и произведением \(6\). Это \(2\) и \(3\).

Способ 2. Разложение на множители.

Ищем числа, дающие в сумме \(-5\), а в произведении \(6\): это \(-2\) и \(-3\).

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нуль: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).

Способ 3. Через дискриминант (работает всегда, даже если корни не целые).

\[D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1\] \[x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm1}{2}\] \[x_1=\frac{5-1}{2}=2,\quad x_2=\frac{5+1}{2}=3\]

Как действовать в похожем задании

1. Проверь, приведённое ли уравнение (коэффициент при \(x^2\) равен 1). Если нет — раздели все члены на него или сразу бери формулу дискриминанта.
2. Быстро поищи целые корни по Виету: перебери делители свободного члена (у нас делители \(6\): \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\)) и проверь их сумму.
3. Если целых корней нет — считай дискриминант: \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один, \(D<0\) — корней нет.
4. Обязательно подставь найденные корни в исходное уравнение — так ловишь ошибку в знаках.