Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Ответ

\[x_1 = 2,\quad x_2 = 3\]

Принцип: как это получается

Способ 1. Разложение на множители (по теореме Виета)

Для приведённого квадратного уравнения \(x^2 + px + q = 0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение — \(q\). У нас \(p = -5\), \(q = 6\), значит нужны два числа с:

• суммой \(2 + 3 = 5\);
• произведением \(2 \cdot 3 = 6\).

Такие числа — это \(2\) и \(3\). Тогда

\[x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0,\]

а произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x - 2 = 0\) или \(x - 3 = 0\).

Способ 2. Через дискриминант (работает всегда)

\[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1,\] \[x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1 = 3,\ x_2 = 2.\]

Проверка

Подставим \(x = 2\): \(4 - 10 + 6 = 0\) ✓. Подставим \(x = 3\): \(9 - 15 + 6 = 0\) ✓.

Как решать похожие: сначала попробуй подобрать два числа по Виету (это быстро, если корни целые), а если не подбираются — смело считай дискриминант. Если \(D < 0\), корней нет; если \(D = 0\), корень один.