Выразите в градусной мере величины углов 2P/5, 3P/4, -P/9 P это число пи

Полное решение

Переводим радианы в градусы по формуле: \[ \alpha^\circ=\alpha_{\text{рад}}\cdot \frac{180^\circ}{\pi}, \] так как \(\pi\) радиан \(=180^\circ\).

1. \[ \frac{2\pi}{5} =\frac{2\pi}{5}\cdot \frac{180^\circ}{\pi} =\frac{2\cdot 180^\circ}{5} =\frac{360^\circ}{5} =72^\circ. \]

2. \[ \frac{3\pi}{4} =\frac{3\pi}{4}\cdot \frac{180^\circ}{\pi} =\frac{3\cdot 180^\circ}{4} =\frac{540^\circ}{4} =135^\circ. \]

3. \[ -\frac{\pi}{9} =-\frac{\pi}{9}\cdot \frac{180^\circ}{\pi} =-\frac{180^\circ}{9} =-20^\circ. \]

Ответ: \[ \frac{2\pi}{5}=72^\circ,\qquad \frac{3\pi}{4}=135^\circ,\qquad -\frac{\pi}{9}=-20^\circ. \]

Отрицательный угол \(-20^\circ\) означает поворот по часовой стрелке на \(20^\circ\).

\[ 8\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{2\pi}{3}\operatorname{tg}\frac{4\pi}{3}\operatorname{ctg}\frac{7\pi}{4} \]

Найдём значения каждой функции:

\[ \sin\frac{\pi}{6}=\frac12, \] \[ \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12, \] \[ \operatorname{tg}\frac{4\pi}{3}=\operatorname{tg}\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3, \] \[ \operatorname{ctg}\frac{7\pi}{4} =\operatorname{ctg}\left(2\pi-\frac{\pi}{4}\right) =-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} =-1. \]

Подставляем:

\[ 8\cdot\frac12\cdot\left(-\frac12\right)\cdot\sqrt3\cdot(-1) \]

Считаем:

\[ 8\cdot\frac12=4, \] \[ 4\cdot\left(-\frac12\right)=-2, \] \[ -2\cdot\sqrt3=-2\sqrt3, \] \[ -2\sqrt3\cdot(-1)=2\sqrt3. \]

Ответ: \[ \boxed{2\sqrt3} \]

То есть числовое значение выражения равно \(2\sqrt3\approx 3{,}46\).

\[ \sin\frac{3\pi}{7}\cdot \cos\frac{9\pi}{8}\cdot \operatorname{tg}(2{,}3\pi) \]

Определяем знак каждого множителя:

1. \(\dfrac{3\pi}{7}\) — угол I четверти, поэтому \[ \sin\frac{3\pi}{7}>0. \]

2. \(\dfrac{9\pi}{8}=\pi+\dfrac{\pi}{8}\) — угол III четверти, поэтому \[ \cos\frac{9\pi}{8}<0. \]

3. \[ \operatorname{tg}(2{,}3\pi)=\operatorname{tg}(2\pi+0{,}3\pi)=\operatorname{tg}(0{,}3\pi). \] Угол \(0{,}3\pi\) находится в I четверти, значит \[ \operatorname{tg}(2{,}3\pi)>0. \]

Получаем произведение: \[ (+)\cdot(-)\cdot(+)=-. \]

Ответ: число имеет отрицательный знак, то есть \[ \boxed{<0}. \]

В такой записи, как написано, это не тождество: если последний член действительно \(-\tan\alpha\), равенство не выполняется.

Скорее всего, в задании опечатка и должно быть: \[ \frac{2\sin^2\alpha}{\tan^2\alpha}-1=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha. \] Докажем эту верную формулировку.

Левая часть: \[ \frac{2\sin^2\alpha}{\tan^2\alpha}-1. \] Так как \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), то \[ \tan^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}. \] Тогда \[ \frac{2\sin^2\alpha}{\tan^2\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha}{\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = 2\cos^2\alpha. \] Значит, \[ \frac{2\sin^2\alpha}{\tan^2\alpha}-1 =2\cos^2\alpha-1. \] Но \[ 2\cos^2\alpha-1 =\cos^2\alpha+(\cos^2\alpha-1) =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha, \] поскольку \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

Следовательно, \[ \frac{2\sin^2\alpha}{\tan^2\alpha}-1 =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha. \]

Тождество доказано.

Если в задании в конце всё-таки стоит именно \(-\tan\alpha\), а не \(-1\), пришли фотографию условия — там нужна проверка записи.

С такой поправкой запись, скорее всего, такая: \[ \frac{2\sin^2\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha}-\operatorname{tg}\alpha. \]

Но в таком виде это не тождество: \[ \frac{2\sin^2\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha} =2\cos^2\alpha, \] поэтому \[ \frac{2\sin^2\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha}-\operatorname{tg}\alpha =2\cos^2\alpha-\operatorname{tg}\alpha. \] А правая часть: \[ \cos^2\alpha-\sin^2\alpha =2\cos^2\alpha-1. \] Эти выражения равны только при \(\operatorname{tg}\alpha=1\), а не при всех \(\alpha\).

Вероятно, в задании потерян множитель \(\operatorname{ctg}\alpha\). Тогда верное тождество: \[ \frac{2\sin^2\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha} -\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha. \]

Доказательство: \[ \operatorname{tg}^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}, \] поэтому \[ \frac{2\sin^2\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha}{\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} =2\cos^2\alpha. \] Также \[ \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1. \] Тогда левая часть равна \[ 2\cos^2\alpha-1. \] А так как \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), то \[ 2\cos^2\alpha-1 =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha. \]

Значит, \[ \frac{2\sin^2\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha} -\operatorname{tg}\alpha\operatorname{ctg}\alpha =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha. \]

Если в тетради действительно стоит просто \(-\operatorname{tg}\alpha\), без \(\operatorname{ctg}\alpha\), то в условии опечатка. Пришлите фото левой части — я сверю запись.