Y'=cos2x-tgx

Данная задача является дифференциальным уравнением первого порядка. Чтобы его решить, применим методы интегрирования. Перенесем одну из функций на другую сторону уравнения:

y' + tg(x)y = cos(2x)

Для начала найдем общее решение однородного уравнения, т.е. когда правая часть равна нулю:

y' + tg(x)y = 0

Обозначим z = y/cos(x). Тогда z' = (y'cos(x) - ysin(x))/cos^2(x). Подставляем это в наше уравнение:

(y'cos(x) - ysin(x))/cos^2(x) + tg(x)y = 0

Упрощаем и приводим подобные слагаемые:

y'cos(x) - ysin(x) + cos(x)tg(x)y = 0

Выносим y за скобку:

y'(cos(x) + cos(x)tg(x)) - ysin(x) = 0

Обратите внимание, что cos(x)(1 + tg(x)) = cos(x)sec(x). Заменяем этот фрагмент и записываем окончательный вид:

y'sec(x) - ysin(x) = 0

Теперь можем решить это уравнение, используя методы интегрирования:

(ysec(x))' = 0

Интегрируем обе стороны:

ysec(x) = C

Где C - произвольная постоянная. В итоге получаем общее решение однородного уравнения:

y = Csec(x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения, когда правая часть не равна нулю:

y' + tg(x)y = cos(2x)

Попробуем частное решение в виде y = Acos(2x), где A - некоторая константа. Подставляем это в уравнение:

-2Asin(2x) + tgan(2x)Acos(2x) = cos(2x)

Можно заметить, что левая часть равна 0 при любом x, значит:

0 = cos(2x)

Такое уравнение не имеет решений при любых значениях x, поэтому частного решения для неоднородного уравнения не существует.

Таким образом, общее решение исходного уравнения будет:

y = Csec(x)

Где C - произвольная константа.