Докажите тождество 2sin²a/tg2a-that = cos²-sin²a a это альфа

Докажем тождество по шагам.

\[ \frac{2\sin^2\alpha}{\operatorname{tg}2\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha} =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \]

1. Распишем тангенсы

\[ \operatorname{tg}2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. \]

Тогда

\[ \operatorname{tg}2\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. \]

2. Применим формулу синуса двойного угла

\[ \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha. \]

Подставляем:

\[ \operatorname{tg}2\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos2\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}. \]

Сокращаем \(\cos\alpha\):

\[ \operatorname{tg}2\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha = \frac{2\sin^2\alpha}{\cos2\alpha}. \]

3. Подставим в левую часть исходного выражения

\[ \frac{2\sin^2\alpha}{\operatorname{tg}2\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha}{\dfrac{2\sin^2\alpha}{\cos2\alpha}} = 2\sin^2\alpha\cdot\frac{\cos2\alpha}{2\sin^2\alpha}. \]

Сокращаем \(2\sin^2\alpha\):

\[ \frac{2\sin^2\alpha}{\operatorname{tg}2\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha} = \cos2\alpha. \]

4. Применим формулу косинуса двойного угла

\[ \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha. \]

Следовательно,

\[ \frac{2\sin^2\alpha}{\operatorname{tg}2\alpha\cdot \operatorname{tg}\alpha} = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha. \]

Тождество доказано.

Ограничения

Выражения должны быть определены, поэтому

\[ \cos\alpha\ne0,\qquad \cos2\alpha\ne0,\qquad \sin\alpha\ne0. \]

То есть

\[ \alpha\ne\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad \alpha\ne\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad \alpha\ne\pi n, \quad n\in\mathbb Z. \]

При этих допустимых значениях тождество верно.

Если функция записана так:

\[ f(x)=\frac{x\sin x}{x^2-9}, \]

то она не является нечётной. С такой записью утверждение неверно: функция чётная.

Проверка

Область определения:

\[ x^2-9\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne\pm3. \]

Она симметрична относительно нуля. Теперь найдём \(f(-x)\):

\[ f(-x)=\frac{(-x)\sin(-x)}{(-x)^2-9}. \]

Используем, что \(\sin(-x)=-\sin x\):

\[ f(-x)=\frac{(-x)(-\sin x)}{x^2-9} =\frac{x\sin x}{x^2-9} =f(x). \]

Значит,

\[ f(-x)=f(x), \]

то есть функция чётная, а не нечётная.

Для нечётности должно было бы выполняться:

\[ f(-x)=-f(x). \]

Если в условии опечатка и в числителе должно быть \(x^2\sin x\), то есть

\[ f(x)=\frac{x^2\sin x}{x^2-9}, \]

тогда:

\[ f(-x)=\frac{(-x)^2\sin(-x)}{(-x)^2-9} =\frac{x^2(-\sin x)}{x^2-9} =-\frac{x^2\sin x}{x^2-9} =-f(x). \]

В этом случае функция действительно нечётная при \(x\ne\pm3\).

Тогда функция имеет вид

\[ f(x)=\frac{x^2\sin x}{x^2-9}. \]

Докажем, что она нечётная, то есть \(f(-x)=-f(x)\).

Область определения:

\[ x^2-9\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne\pm3. \]

Она симметрична относительно нуля, значит проверять нечётность можно.

Найдём \(f(-x)\):

\[ f(-x)=\frac{(-x)^2\sin(-x)}{(-x)^2-9}. \]

Так как

\[ (-x)^2=x^2,\qquad \sin(-x)=-\sin x, \]

получаем:

\[ f(-x)=\frac{x^2(-\sin x)}{x^2-9} =-\frac{x^2\sin x}{x^2-9} =-f(x). \]

Следовательно,

\[ f(-x)=-f(x), \]

значит функция

\[ \boxed{f(x)=\frac{x^2\sin x}{x^2-9}} \]

является нечётной при \(x\ne\pm3\).

Сравним \(A\) с нулём:

\[ A=\sin25^\circ+\sin35^\circ-\cos5^\circ. \]

Применим формулу суммы синусов:

\[ \sin25^\circ+\sin35^\circ = 2\sin\frac{25^\circ+35^\circ}{2}\cos\frac{25^\circ-35^\circ}{2}. \]

Считаем:

\[ \frac{25^\circ+35^\circ}{2}=30^\circ,\qquad \frac{25^\circ-35^\circ}{2}=-5^\circ. \]

Значит,

\[ \sin25^\circ+\sin35^\circ = 2\sin30^\circ\cos(-5^\circ). \]

Так как \(\cos(-5^\circ)=\cos5^\circ\), а \(\sin30^\circ=\frac12\), получаем:

\[ \sin25^\circ+\sin35^\circ = 2\cdot\frac12\cdot\cos5^\circ = \cos5^\circ. \]

Тогда

\[ A=\cos5^\circ-\cos5^\circ=0. \]

\[ \boxed{A=0} \]

То есть значение выражения равно нулю.

Коротко:

\[ \sin25^\circ+\sin35^\circ =2\sin30^\circ\cos5^\circ =2\cdot\frac12\cdot\cos5^\circ =\cos5^\circ. \]

Тогда

\[ A=\cos5^\circ-\cos5^\circ=0. \]

\[ \boxed{A=0} \]

Значит, значение выражения равно нулю.

Строим обе функции на одном графике на промежутке \([0;2\pi]\), а потом повторяем волны через период \(2\pi\).

Таблица значений

Как строить

1. Сначала строим обычную синусоиду
   \[ y=\sin x \] по точкам из таблицы.

2. График
   \[ y=1+2\sin x \] получается из \(y=\sin x\) так:

   • растянуть по вертикали в \(2\) раза;
   • поднять вверх на \(1\).

3. Соединяем точки плавной волной. Обе функции периодические с периодом \(2\pi\), поэтому графики повторяются.

Важные точки

• У \(y=\sin x\): максимум \(1\), минимум \(-1\).
• У \(y=1+2\sin x\): максимум \(3\), минимум \(-1\).
• Графики касаются в точках
  \[ x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\qquad y=-1. \]
• Во всех остальных точках
  \[ 1+2\sin x>\sin x, \] так как
  \[ (1+2\sin x)-\sin x=1+\sin x\ge 0. \]

То есть на одном рисунке \(y=1+2\sin x\) — эта «высокая» синусоида с осевой линией \(y=1\), а \(y=\sin x\) — обычная синусоида с осью \(y=0\). В нижних точках они соприкасаются при \(y=-1\).