2 и 4

Question 1

Геометрия · 9 класс Задача №3744115

А

Аноним

20 октября 2026 04:22 · публичный вопрос

А

Аноним 20 октября 2026 04:22

2 и 4

Answer

Краткий ответ

\[ \text{№2: } x=\arccos\frac{19}{20}\approx18{,}2^\circ \]

\[ \text{№4: } x=R=\frac{175}{4\sqrt{66}}\approx5{,}39 \] (в №4 \(x\) — радиус окружности, \(O\) — её центр).

№2. Находим угол \(x\)

В треугольнике \(RST\):

\(RS=4\) — сторона против угла \(x\);
\(RT=7\) и \(ST=10\) — стороны, образующие угол \(x\).

Применяем теорему косинусов:

\[ RS^2=RT^2+ST^2-2\cdot RT\cdot ST\cos x \]

\[ 4^2=7^2+10^2-2\cdot7\cdot10\cos x \]

\[ 16=49+100-140\cos x \]

\[ 16=149-140\cos x \]

\[ 140\cos x=133 \]

\[ \cos x=\frac{133}{140}=\frac{19}{20} \]

Значит,

\[ x=\arccos\frac{19}{20}\approx18{,}2^\circ. \]

Проверка: сторона \(4\) — самая маленькая, значит и угол \(x\) должен быть самым маленьким. Примерно \(18^\circ\) — правдоподобно.

№4. Находим радиус \(x\)

Точка \(O\) — центр окружности, поэтому

\[ OR=OE=OF=x \]

То есть \(x\) — радиус описанной около треугольника \(ERF\) окружности.

Сначала найдём угол \(E\) в треугольнике \(ERF\). Он лежит против стороны \(RF=7\).

По теореме косинусов:

\[ RF^2=ER^2+EF^2-2\cdot ER\cdot EF\cos E \]

\[ 7^2=10^2+5^2-2\cdot10\cdot5\cos E \]

\[ 49=100+25-100\cos E \]

\[ 49=125-100\cos E \]

\[ 100\cos E=76 \]

\[ \cos E=\frac{19}{25} \]

Тогда

\[ \sin E=\sqrt{1-\left(\frac{19}{25}\right)^2} =\sqrt{\frac{264}{625}} =\frac{2\sqrt{66}}{25}. \]

Для описанной окружности:

\[ \frac{RF}{\sin E}=2R \]

Поэтому

\[ x=R=\frac{RF}{2\sin E} \]

\[ x=\frac{7}{2\cdot\dfrac{2\sqrt{66}}{25}} =\frac{175}{4\sqrt{66}} \approx5{,}39. \]

Ответ:
\[ \boxed{x\approx18{,}2^\circ \text{ в №2}} \qquad \boxed{x\approx5{,}4 \text{ в №4}} \]

Можно проверить №4 через площадь:
\[ p=\frac{10+5+7}{2}=11,\quad S=\sqrt{11\cdot1\cdot6\cdot4}=2\sqrt{66}, \] \[ R=\frac{abc}{4S}=\frac{10\cdot5\cdot7}{4\cdot2\sqrt{66}} =\frac{175}{4\sqrt{66}}. \]

Question 2

2 и 4

Answer

**Краткий ответ** \[ \text{№2: } x=\arccos\frac{19}{20}\approx18{,}2^\circ \] \[ \text{№4: } x=R=\frac{175}{4\sqrt{66}}\approx5{,}39 \] (в №4 \(x\) — радиус окружности, \(O\) — её центр). --- ### №2. Находим угол \(x\) В треугольнике \(RST\): - \(RS=4\) — сторона **против** угла \(x\); - \(RT=7\) и \(ST=10\) — стороны, образующие угол \(x\). Применяем теорему косинусов: \[ RS^2=RT^2+ST^2-2\cdot RT\cdot ST\cos x \] \[ 4^2=7^2+10^2-2\cdot7\cdot10\cos x \] \[ 16=49+100-140\cos x \] \[ 16=149-140\cos x \] \[ 140\cos x=133 \] \[ \cos x=\frac{133}{140}=\frac{19}{20} \] Значит, \[ x=\arccos\frac{19}{20}\approx18{,}2^\circ. \] Проверка: сторона \(4\) — самая маленькая, значит и угол \(x\) должен быть самым маленьким. Примерно \(18^\circ\) — правдоподобно. --- ### №4. Находим радиус \(x\) Точка \(O\) — центр окружности, поэтому \[ OR=OE=OF=x \] То есть \(x\) — радиус описанной около треугольника \(ERF\) окружности. Сначала найдём угол \(E\) в треугольнике \(ERF\). Он лежит против стороны \(RF=7\). По теореме косинусов: \[ RF^2=ER^2+EF^2-2\cdot ER\cdot EF\cos E \] \[ 7^2=10^2+5^2-2\cdot10\cdot5\cos E \] \[ 49=100+25-100\cos E \] \[ 49=125-100\cos E \] \[ 100\cos E=76 \] \[ \cos E=\frac{19}{25} \] Тогда \[ \sin E=\sqrt{1-\left(\frac{19}{25}\right)^2} =\sqrt{\frac{264}{625}} =\frac{2\sqrt{66}}{25}. \] Для описанной окружности: \[ \frac{RF}{\sin E}=2R \] Поэтому \[ x=R=\frac{RF}{2\sin E} \] \[ x=\frac{7}{2\cdot\dfrac{2\sqrt{66}}{25}} =\frac{175}{4\sqrt{66}} \approx5{,}39. \] **Ответ:** \[ \boxed{x\approx18{,}2^\circ \text{ в №2}} \qquad \boxed{x\approx5{,}4 \text{ в №4}} \] Можно проверить №4 через площадь: \[ p=\frac{10+5+7}{2}=11,\quad S=\sqrt{11\cdot1\cdot6\cdot4}=2\sqrt{66}, \] \[ R=\frac{abc}{4S}=\frac{10\cdot5\cdot7}{4\cdot2\sqrt{66}} =\frac{175}{4\sqrt{66}}. \]