Плоскости α и β параллельны, A — точка плоскости α. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку A и параллельная плоскости β, лежит в плоскости α.

Коротко: так и должно быть: если прямая проходит через точку \(A\) плоскости \(\alpha\) и параллельна параллельной ей плоскости \(\beta\), то «уйти» из \(\alpha\) она не может — иначе она пересекла бы \(\beta\).

Оформление в тетради

Дано:
\(\alpha\parallel\beta\), \(A\in\alpha\), прямая \(l\) проходит через \(A\), \(l\parallel\beta\).

Доказать:
\(l\subset\alpha\).

Рисунок:

          α  ┌──────────────────────┐
            /       A•──── l = n ──/
           /       /               /
          /  γ   /               /
         └─────/────────────────┘
       β     ┌/─────────────────────┐
             m                     /
            └─────────────────────┘

m ∥ l,  n ∥ m,  n проходит через A

Доказательство:

1. Возьмём точку \(C\in\beta\). Через прямую \(l\) и точку \(C\) проведём вспомогательную плоскость \(\gamma\).

2. Плоскость \(\gamma\) пересекает плоскость \(\beta\) по некоторой прямой \(m\): \[ \gamma\cap\beta=m. \]

3. Прямые \(l\) и \(m\) лежат в одной плоскости \(\gamma\). Если бы они пересекались, то \(l\) пересекала бы \(\beta\), а это невозможно, так как \(l\parallel\beta\). Значит, \[ l\parallel m. \]

4. Плоскость \(\gamma\) пересекает параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\). Поэтому линии пересечения параллельны: \[ n=\gamma\cap\alpha,\qquad n\parallel m. \]

5. Точка \(A\) лежит и в \(\alpha\), и в \(\gamma\), значит, \(A\in n\).
   Но через точку \(A\) можно провести только одну прямую, параллельную \(m\). Поэтому \(l\) и \(n\) совпадают: \[ l=n. \]

6. А \(n\subset\alpha\). Следовательно, \[ l\subset\alpha. \]

Что важно запомнить: если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Именно это и «загоняет» прямую \(l\) обратно в плоскость \(\alpha\).