С рисунком

Кратко:

1. 2) \(KN\) и \(LM\);
2. 3) \(8\) см;
3. 1) \(3\) см.

1. Средняя линия треугольника

В \(\triangle ABD\) точки \(K\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(AD\), значит, \[ KN\parallel BD. \]

В \(\triangle BCD\) точки \(L\) и \(M\) — середины \(BC\) и \(CD\), значит, \[ LM\parallel BD. \]

А \(MN\) соединяет середины \(CD\) и \(AD\), поэтому \(MN\parallel AC\), а не \(BD\).

Ответ: 2) \(KN\) и \(LM\).

2. Подобие треугольников

Проведём плоскость через параллельные прямые \(BB_1\) и \(CC_1\). Она содержит точки \(B,C,A\), поэтому её пересечение с данной плоскостью — прямая \(AB_1C_1\).

В сечении получаются подобные треугольники \(ACC_1\) и \(ABB_1\), так как \[ CC_1\parallel BB_1. \]

Значит, \[ \frac{CC_1}{BB_1}=\frac{AC}{AB}. \]

Дано \(AC:CB=4:3\), поэтому \[ AB=AC+CB=4+3=7 \text{ частей}, \] \[ \frac{AC}{AB}=\frac47. \]

Тогда \[ CC_1=BB_1\cdot \frac47=14\cdot\frac47=8\text{ см}. \]

Ответ: 3) \(8\) см.

3. Середина отрезка и разные стороны плоскости

\(AD\) — медиана, значит, \(D\) — середина \(BC\).

Проведём сечение плоскостью через прямую \(BC\) и общее направление параллельных прямых. В этом сечении плоскость \(\alpha\) изображается прямой, а \(B\) и \(C\) лежат по разные стороны от неё.

Расстояния по направлению параллельных прямых: \[ BB_1=14,\qquad CC_1=8. \]

Так как \(B\) и \(C\) по разные стороны плоскости, их «высоты» имеют разные знаки: \[ h_B=+14,\qquad h_C=-8. \]

Точка \(D\) — середина \(BC\), поэтому её высота: \[ h_D=\frac{h_B+h_C}{2} =\frac{14-8}{2}=3. \]

Следовательно, \[ DD_1=3\text{ см}. \]

Здесь важна именно полуразность \(14\) и \(8\), потому что точки находятся по разные стороны плоскости. Если бы они были по одну сторону, была бы полусумма.

Ответ: 1) \(3\) см.

Итог:

1. 2; 2) 3; 3) 1.