Реши
Кратко: во всех задачах точка выбирается равномерно, поэтому
\[
P=\frac{\text{площадь нужной области}}{\text{площадь всей фигуры}}.
\]
Ответы:
- верхняя обрезанная задача: \(\frac12\);
- 188: а) \(\frac12\), б) \(\frac14\);
- 189: \(\frac{\pi}{4}\);
- 190: а) \(\frac14\), б) \(\frac13\), в) \(\frac{n}{2(m+n)}\);
- 191: а) \(\frac34\), б) \(\frac23\), в) \(\frac{m+2n}{2(m+n)}\).
Почему так
Верхняя задача. Медиана \(AM\) делит треугольник \(ABC\) на два равных по площади треугольника: \(S_{ABM}=S_{ACM}\). Значит, \[ P=\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\frac12. \]
188. Пусть стороны прямоугольника \(a\) и \(b\), его площадь \(S=ab\).
а) Ромб из середин сторон имеет диагонали \(a\) и \(b\), поэтому
\[
S_{\text{ромба}}=\frac{ab}{2},\qquad P=\frac{ab/2}{ab}=\frac12.
\]
б) Если взять две соседние вершины и центр прямоугольника, то у треугольника основание равно стороне прямоугольника, а высота — половине другой стороны:
\[
S_{\triangle}=\frac12\cdot a\cdot \frac b2=\frac{ab}{4},\qquad P=\frac14.
\]
189. Квадрат со стороной \(a\), вписанный круг имеет радиус \(a/2\): \[ P=\frac{\pi (a/2)^2}{a^2}=\frac{\pi}{4}. \]
190. Пусть сторона квадрата равна \(a\). Площадь треугольника \(ADM\): \[ S_{ADM}=\frac12\cdot AD\cdot MD=\frac12 a\cdot MD. \] Поэтому \[ P=\frac{MD}{2a}. \] а) \(M\) — середина \(CD\), значит \(MD=\frac a2\): \[ P=\frac14. \] б) \(CM:MD=1:2\), значит \(MD=\frac{2a}{3}\): \[ P=\frac{1}{3}. \] в) \(CM:MD=m:n\), значит \(MD=\frac{na}{m+n}\): \[ P=\frac{n}{2(m+n)}. \]
191. Трапеция \(AMCD\) получается из квадрата вычитанием треугольника \(ABM\): \[ S_{AMCD}=a^2-\frac12 a\cdot BM. \] Значит \[ P=1-\frac{BM}{2a}. \] а) \(M\) — середина \(BC\), \(BM=\frac a2\): \[ P=1-\frac14=\frac34. \] б) \(CM:MB=1:2\), поэтому \(BM=\frac{2a}{3}\): \[ P=1-\frac13=\frac23. \] в) \(BM:MC=m:n\), поэтому \(BM=\frac{ma}{m+n}\): \[ P=1-\frac{m}{2(m+n)}=\frac{m+2n}{2(m+n)}. \]
Проверка: при \(m=n\) формулы для середины дают \(\frac14\) в 190 и \(\frac34\) в 191 — как в пунктах а).
Обсуждение
2 сообщенияпиши дано и решение
Оформляю по школьному образцу: Дано — Найти — Решение — Ответ. Общий принцип для всех задач: точка выбирается наудачу в фигуре, поэтому
\[ P=\frac{S_{\text{нужной части}}}{S_{\text{всей фигуры}}}. \]
Задача 1 (медиана)
Дано: \(\triangle ABC\), \(AM\) — медиана (\(M\in BC\)). Точка наудачу выбирается в треугольнике \(ABC\).
Найти: вероятность того, что точка лежит в \(\triangle ABM\).
Решение. Медиана делит треугольник на два равновеликих: \[ S_{ABM}=S_{ACM}=\frac12 S_{ABC}. \] Тогда \[ P=\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\frac{1/2\cdot S_{ABC}}{S_{ABC}}=\frac12. \]
Ответ: \(\dfrac12\).
№ 188
Дано: прямоугольник \(ABCD\) со сторонами \(a\) и \(b\). Точка наудачу выбирается в прямоугольнике.
Найти: вероятность попадания: а) в ромб с вершинами в серединах сторон; б) в треугольник, вершины которого — две соседние вершины прямоугольника и его центр \(O\).
Решение. \(S=ab\).
а) Диагонали ромба равны \(a\) и \(b\), значит \[ S_{\text{ромба}}=\frac12 ab,\qquad P=\frac{\frac12 ab}{ab}=\frac12. \]
б) Возьмём \(\triangle ABO\): \(AB=a\), высота из \(O\) к \(AB\) равна \(\frac b2\). Тогда \[ S_{\triangle ABO}=\frac12\cdot a\cdot\frac b2=\frac{ab}{4},\qquad P=\frac{ab/4}{ab}=\frac14. \]
Ответ: а) \(\dfrac12\); б) \(\dfrac14\).
№ 189
Дано: квадрат со стороной \(a\), в него вписана окружность. Точка наудачу выбирается в квадрате.
Найти: вероятность попадания в круг.
Решение. Радиус вписанной окружности \(R=\dfrac a2\), поэтому \[ S_{\text{круга}}=\pi R^2=\frac{\pi a^2}{4},\qquad S_{\text{квадрата}}=a^2. \] \[ P=\frac{\pi a^2/4}{a^2}=\frac{\pi}{4}. \]
Ответ: \(\dfrac{\pi}{4}\).
№ 190
Дано: квадрат \(ABCD\) со стороной \(a\), точка \(M\in CD\). Точка наудачу выбирается в квадрате; рассматривается \(\triangle ADM\).
Найти: \(P\) попадания в \(\triangle ADM\), если: а) \(M\) — середина \(CD\); б) \(CM:MD=1:2\); в) \(CM:MD=m:n\).
Решение. \(AD\perp CD\), поэтому \[ S_{ADM}=\frac12\cdot AD\cdot MD=\frac12 a\cdot MD,\qquad S_{\text{кв}}=a^2. \] \[ P=\frac{\frac12 a\cdot MD}{a^2}=\frac{MD}{2a}. \]
а) \(MD=\dfrac a2\): \[ P=\frac{a/2}{2a}=\frac14. \]
б) \(MD=\dfrac{2}{3}a\): \[ P=\frac{2a/3}{2a}=\frac13. \]
в) \(MD=\dfrac{na}{m+n}\): \[ P=\frac{\frac{na}{m+n}}{2a}=\frac{n}{2(m+n)}. \]
Ответ: а) \(\dfrac14\); б) \(\dfrac13\); в) \(\dfrac{n}{2(m+n)}\).
№ 191
Дано: квадрат \(ABCD\) со стороной \(a\), точка \(M\in BC\). Точка наудачу выбирается в квадрате; рассматривается трапеция \(AMCD\).
Найти: \(P\) попадания в \(AMCD\), если: а) \(M\) — середина \(BC\); б) \(CM:MB=1:2\); в) \(BM:MC=m:n\).
Решение. Удобно считать через дополнение: \[ S_{ABM}=\frac12\cdot AB\cdot BM=\frac12 a\cdot BM, \] \[ S_{AMCD}=a^2-\frac12 a\cdot BM, \] \[ P=\frac{a^2-\frac12 a\cdot BM}{a^2}=1-\frac{BM}{2a}. \]
а) \(BM=\dfrac a2\): \[ P=1-\frac{a/2}{2a}=1-\frac14=\frac34. \]
б) \(BM=\dfrac{2}{3}a\): \[ P=1-\frac{2a/3}{2a}=1-\frac13=\frac23. \]
в) \(BM=\dfrac{ma}{m+n}\): \[ P=1-\frac{m}{2(m+n)}=\frac{2(m+n)-m}{2(m+n)}=\frac{m+2n}{2(m+n)}. \]
Ответ: а) \(\dfrac34\); б) \(\dfrac23\); в) \(\dfrac{m+2n}{2(m+n)}\).
Проверка: в № 190 при \(m=n\) (середина) получаем \(\frac{n}{2\cdot 2n}=\frac14\), в № 191 — \(\frac{3n}{4n}=\frac34\), что совпадает с пунктами а). Ответы от длины стороны \(a\) не зависят.
