Теорема Фалеса (школьный курс, 8 класс)

Формулировка. Если на одной стороне угла отложить несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то на второй стороне тоже получатся равные между собой отрезки.

Схема: угол с вершиной $O$; на одной стороне точки $A_1, A_2, A_3$, причём $OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$; через них проведены параллельные прямые, пересекающие вторую сторону в точках $B_1, B_2, B_3$. Тогда

$$OB_1 = B_1B_2 = B_2B_3.$$

Почему это верно

1. Треугольники $OA_1B_1$ и $OA_2B_2$ подобны: угол $O$ у них общий, а углы при $A_1$ и $A_2$ равны как соответственные при параллельных прямых $A_1B_1 \parallel A_2B_2$ и секущей $OA_2$.
2. Из подобия: $\dfrac{OA_1}{OA_2} = \dfrac{OB_1}{OB_2}$.
3. Но $OA_2 = OA_1 + A_1A_2 = 2,OA_1$, значит $OB_2 = 2,OB_1$, то есть $B_1B_2 = OB_1$.
4. Так же с третьей прямой: $OA_3 = 3,OA_1 \Rightarrow OB_3 = 3,OB_1 \Rightarrow B_2B_3 = OB_1$.

Значит все три отрезка на второй стороне равны. Тот же приём работает для любого числа равных частей.

Обобщённая теорема Фалеса (пропорциональные отрезки)

Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки на одной стороне пропорциональны отрезкам на другой:

$$\frac{OA_1}{A_1A_2} = \frac{OB_1}{B_1B_2}.$$

Это основная рабочая формула для задач.

Пример

На одной стороне угла отложены отрезки $3$ см и $5$ см, на другой стороне первый отрезок равен $6$ см. Найди второй.

$$\frac{3}{5} = \frac{6}{x} ;\Rightarrow; 3x = 30 ;\Rightarrow; x = 10 \text{ см}.$$

Проверка: отношение $3:5 = 0{,}6$ и $6:10 = 0{,}6$ — совпадает.

Не путай

Есть ещё «теорема Фалеса» про угол, опирающийся на диаметр: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. В российских учебниках под теоремой Фалеса обычно понимают именно первую — про параллельные прямые и равные отрезки.

Если нужно, пришли конкретную задачу — разберём по шагам.

Конспект: теорема Фалеса

Тема: теорема Фалеса. Класс: 8 (геометрия).

1. Формулировка

Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то на второй стороне получатся тоже равные отрезки.

Дано: угол с вершиной $O$; $OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$; $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3$. Доказать: $OB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$.

2. Доказательство (кратко)

1. $\triangle OA_1B_1 \sim \triangle OA_2B_2$ — угол $O$ общий, углы при $A_1$ и $A_2$ равны как соответственные при параллельных прямых.
2. Из подобия: $\dfrac{OA_1}{OA_2} = \dfrac{OB_1}{OB_2}$.
3. $OA_2 = 2,OA_1 \Rightarrow OB_2 = 2,OB_1 \Rightarrow B_1B_2 = OB_1$.
4. Аналогично $OA_3 = 3,OA_1 \Rightarrow OB_3 = 3,OB_1 \Rightarrow B_2B_3 = OB_1$.

Вывод: $OB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$. Ч. т. д.

3. Обобщённая теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки:

$$\frac{OA_1}{A_1A_2} = \frac{OB_1}{B_1B_2}$$

Это главная формула для решения задач.

4. Применение

• деление отрезка на $n$ равных частей с помощью циркуля и линейки;
• нахождение неизвестного отрезка через пропорцию;
• задачи о средней линии треугольника (частный случай: параллельная прямая, проходящая через середину стороны, делит вторую сторону пополам).

5. Пример

На одной стороне угла — отрезки $3$ см и $5$ см, на другой первый равен $6$ см. Тогда

$$\frac{3}{5} = \frac{6}{x} \Rightarrow 3x = 30 \Rightarrow x = 10 \text{ см.}$$

6. Важно не путать

В российских учебниках под теоремой Фалеса понимают первую.

Если нужно, добавлю чертёж-схему текстом или разберу доказательство подробнее.

Конспект «Теорема Фалеса» (короткий, для тетради)

Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла тоже получатся равные отрезки.

Дано: угол $O$, $OA_1=A_1A_2=A_2A_3$, прямые $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3$. Доказать: $OB_1=B_1B_2=B_2B_3$.

Доказательство:

1. $\triangle OA_1B_1 \sim \triangle OA_2B_2$ (угол $O$ общий, углы при $A_1,A_2$ равны как соответственные).
2. $\dfrac{OA_1}{OA_2}=\dfrac{OB_1}{OB_2}$, а $OA_2=2OA_1$, значит $OB_2=2OB_1$, т. е. $B_1B_2=OB_1$.
3. Так же $OA_3=3OA_1 \Rightarrow OB_3=3OB_1 \Rightarrow B_2B_3=OB_1$.

Обобщение (пропорция): $$\frac{OA_1}{A_1A_2}=\frac{OB_1}{B_1B_2}$$

Пример: $3$ см и $5$ см на одной стороне, $6$ см на другой: $\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{x} \Rightarrow x=10$ см.

Применение: деление отрезка на $n$ равных частей; средняя линия треугольника.

Не путать: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ — это другая теорема.

Если конспект нужен короче (например, только формулировка, чертёж и формула) или, наоборот, подробнее с чертежом — скажи, переделаю.

Конспект-опора: теорема Фалеса

Схема

        O  (вершина угла)
       / \
      /   \
    A1-----B1   ←  A1B1 ∥ A2B2 ∥ A3B3
    |       \
    A2-------B2
    |
    A3

На луче $OA$: $OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$. Тогда на луче $OB$: $OB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$.

1. Формулировка

Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла отсекутся тоже равные отрезки.

Дано: $OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3$; $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3$. Доказать: $OB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$.

2. Доказательство

1. $\triangle OA_1B_1 \sim \triangle OA_2B_2$: угол $O$ общий, $\angle OA_1B_1 = \angle OA_2B_2$ как соответственные при $A_1B_1 \parallel A_2B_2$.
2. Из подобия $\dfrac{OA_1}{OA_2} = \dfrac{OB_1}{OB_2}$. Но $OA_2 = 2OA_1$, значит $OB_2 = 2OB_1$, то есть $B_1B_2 = OB_1$.
3. Так же $\triangle OA_1B_1 \sim \triangle OA_3B_3$: $OA_3 = 3OA_1 \Rightarrow OB_3 = 3OB_1 \Rightarrow B_2B_3 = OB_1$.

Вывод: $OB_1 = B_1B_2 = B_2B_3$. Ч. т. д.

3. Обобщённая теорема (рабочая формула)

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки:

$$\boxed{\ \frac{OA_1}{A_1A_2} = \frac{OB_1}{B_1B_2}\ }$$

4. Где применяется

• деление отрезка на $n$ равных частей (циркуль + линейка);
• нахождение неизвестного отрезка через пропорцию;
• средняя линия треугольника — частный случай.

5. Пример

$OA_1 = 3$ см, $A_1A_2 = 5$ см, $OB_1 = 6$ см. Найти $B_1B_2$.

$$\frac{3}{5} = \frac{6}{x} \Rightarrow 3x = 30 \Rightarrow x = 10 \text{ см.}$$

Проверка: $3:5 = 6:10 = 0{,}6$. ✔

6. Частые ошибки

Если нужно, сделаю вариант «в 5 строк» для быстрой записи в тетрадь или добавлю задачу с решением для тренировки.

Вижу на экране листок с треугольником $ABC$ на клетчатой бумаге, но само задание обрезано: читается только «Перед вами лежат листочки с … бумаге», а вопроса не видно. Что именно нужно найти — площадь треугольника, длины сторон, что-то по теореме Фалеса?

Если это стандартная задача «найдите площадь треугольника $ABC$» на клетчатой бумаге, способ такой:

1. Прими сторону клетки за $1$.
2. Определи координаты вершин $A$, $B$, $C$ по сетке.
3. Обведи треугольник прямоугольником по линиям сетки и вычти площади трёх прямоугольных треугольников по углам: $$S_{ABC}=S_{\text{прямоуг}}-\tfrac12 a_1b_1-\tfrac12 a_2b_2-\tfrac12 a_3b_3.$$

Пришли крупным планом сам листок (чтобы были видны вершины и клетки) или напиши, что требуется найти, — посчитаю точно.

Уточни, пожалуйста: не видно текст задания на листке или само фото не открывается у тебя на экране?

Если дело в фото — пришли снимок ближе и без бликов, чтобы были видны вершины треугольника и клетки, либо просто напиши условие текстом. Если фото не загружается в приложении — скажи, это уже вопрос к поддержке.

Коротко

Точка $M$ — середина $AB$, то есть $AM = MB = \dfrac{AB}{2}$. Отметь её ровно посередине между $A$ и $B$; если потом попросят соединить $C$ и $M$, получится медиана треугольника.

Как отметить точно

Способ 1 — по клеткам (если $A$ и $B$ в узлах сетки). Посчитай, сколько клеток отрезок $AB$ проходит по горизонтали и по вертикали, и возьми половину:

$$M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\ \frac{y_A+y_B}{2}\right).$$

Например, если $A$ и $B$ смещены на $6$ клеток вправо и $2$ вниз, то $M$ — на $3$ клетки вправо и $1$ вниз от $A$. Половина может попасть и на середину клетки — это нормально.

Способ 2 — циркулем (серединный перпендикуляр).

1. Раствор циркуля больше половины $AB$.
2. Две засечки из $A$ и две из $B$ — сверху и снизу от отрезка.
3. Соедини точки пересечения засечек прямой: она пересечёт $AB$ точно в середине — это и есть $M$.

Способ 3 — линейкой. Измерь $AB$, раздели число пополам и отложи от $A$.

Проверка

$AM$ и $MB$ должны быть равны. Если $M$ стоит не посередине — засечки/подсчёт сбились, переделай.

На скриншоте клетки и подписи вершин видны мелко, поэтому точные координаты не назову. Пришли фото листка крупнее — скажу, в каком именно узелке (или на середине какой клетки) ставить $M$. И уточни: после $M$ нужно провести $CM$ или через $C$ провести прямую, параллельную $AB$?

На листке видно треугольник $ABC$ на клетчатой бумаге: $A$ — слева внизу, $B$ — справа, $C$ — сверху. Но сам текст задания на миниатюре не читается — видно только «…на клетчатой бумаге». Поэтому ниже — как выполнить шаг с точкой $M$ и что обычно идёт дальше.

1. Как отметить $M$ — середину $AB$

По клеткам: посчитай, на сколько клеток $B$ смещена от $A$ по горизонтали и по вертикали, и возьми половину каждого смещения.

$$M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

• если оба смещения чётные — $M$ попадёт точно в узел сетки;
• если хоть одно нечётное — $M$ окажется на середине клетки (или на середине её стороны). Это нормально, так и должно быть.

Проверка: $AM = MB$, то есть $M$ лежит ровно посередине, а не ближе к одной из вершин.

2. Что обычно требуется дальше

• Провести $CM$ — это медиана треугольника $ABC$. Она делит треугольник на два равных по площади: $S_{AMC}=S_{BMC}$.
• Провести через $M$ прямую, параллельную $AC$ — по теореме Фалеса она пересечёт $BC$ ровно в её середине $K$, и тогда $MK$ — средняя линия, $MK=\dfrac{AC}{2}$.

Что нужно от меня

Напиши, какой именно пункт задания надо решить: отметить $M$, провести $CM$, найти площадь треугольника или что-то ещё? Если нужна площадь — скажи, сколько клеток по горизонтали и вертикали между $A$, $B$ и $C$ (или пришли фото листка крупнее), и я посчитаю точно.

Это продолжение той же задачи: на листке треугольник $ABC$, а на его сторонах отмечены точки — $M$ на $AB$, $O$ на $AC$, $K$ на $CB$. Это как раз середины сторон, и вместе они дают «средний» треугольник.

Что должно получиться

Если $M$ — середина $AB$, $O$ — середина $AC$, $K$ — середина $BC$, то отрезки $MO$, $MK$, $OK$ — средние линии треугольника $ABC$:

Свойства треугольника $MOK$:

• его периметр равен половине периметра $ABC$;
• его площадь равна четверти площади $ABC$;
• углы $MOK$ соответственно равны углам $ABC$.

Как точно поставить точки на клетках

Бери половину смещения по горизонтали и по вертикали:

$$M\left(\tfrac{x_A+x_B}{2};\tfrac{y_A+y_B}{2}\right),\quad O\left(\tfrac{x_A+x_C}{2};\tfrac{y_A+y_C}{2}\right),\quad K\left(\tfrac{x_B+x_C}{2};\tfrac{y_B+y_C}{2}\right)$$

Если смещение нечётное — точка попадёт на середину клетки, это нормально.

Почему $MO \parallel BC$

Здесь и работает теорема Фалеса: $M$ и $O$ делят стороны $AB$ и $AC$ в одном отношении ($1:1$), значит прямая $MO$ параллельна $BC$. А из подобия $\triangle AMO \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $\tfrac12$ получаем $MO = \dfrac{BC}{2}$.

Проверка на рисунке: $M$ должна лежать ровно посередине $AB$, $O$ — посередине $AC$, $K$ — посередине $CB$; тогда $MO$, $MK$, $OK$ идут параллельно соответствующим сторонам.

Если в задании нужно ещё что-то посчитать (длины сторон по клеткам, периметр или площадь), скажи, что именно, — посчитаю по клеткам.