Реши задание на изображении

На фото видны задачи № 954–956. Решу все.

Краткие ответы:

• 954. Две другие медианы: по \(100\) см.
• 955. Две другие стороны: \(10\sqrt2\) см и \(2\sqrt{29}\) см.
• 956. В равнобедренной трапеции диагонали равны; обратное утверждение тоже верно: если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.

954

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, одновременно является высотой. Пусть основание \(AC=80\) см, медиана \(BM=160\) см.

Тогда \(M\) — середина \(AC\), поэтому: \[ AM=MC=40. \]

Поставим координаты: \[ A(-40;0),\quad C(40;0),\quad B(0;160). \]

Найдём медиану из \(A\) к стороне \(BC\). Середина \(BC\): \[ N\left(\frac{0+40}{2};\frac{160+0}{2}\right)=(20;80). \]

Длина: \[ AN=\sqrt{(20-(-40))^2+(80-0)^2} =\sqrt{60^2+80^2} =\sqrt{3600+6400} =100. \]

Из симметрии вторая медиана тоже равна \(100\) см.

Ответ: \(100\) см и \(100\) см.

955

Пусть высота \(AH=10\) см делит основание на отрезки: \[ BH=10,\qquad HC=4. \]

Высота образует два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора: \[ AB=\sqrt{AH^2+BH^2} =\sqrt{10^2+10^2} =\sqrt{200} =10\sqrt2. \]

\[ AC=\sqrt{AH^2+HC^2} =\sqrt{10^2+4^2} =\sqrt{100+16} =\sqrt{116} =2\sqrt{29}. \]

Ответ: \(10\sqrt2\) см и \(2\sqrt{29}\) см.

956

Прямое утверждение

Пусть \(ABCD\) — равнобедренная трапеция: \[ AD\parallel BC,\qquad AB=CD. \]

Нужно доказать: \[ AC=BD. \]

Опустим высоты \(BE\) и \(CF\). Прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\) равны по гипотенузе и катету: \[ AB=CD,\qquad BE=CF. \]

Значит, \[ \angle BAD=\angle CDA. \]

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(DCA\):

• \(AB=CD\);
• \(AD\) — общая сторона;
• \(\angle BAD=\angle CDA\).

По двум сторонам и углу между ними треугольники равны, поэтому: \[ BD=AC. \]

Значит, диагонали равнобедренной трапеции равны.

Обратное утверждение

Если в трапеции \(ABCD\) диагонали равны: \[ AC=BD, \] то она равнобедренная.

Проведём через \(C\) прямую \(CE\parallel BD\) до пересечения с прямой \(AD\). Тогда \(BCED\) — параллелограмм, поэтому: \[ CE=BD. \]

Но \(AC=BD\), значит: \[ AC=CE. \]

Треугольник \(ACE\) равнобедренный, поэтому: \[ \angle CAE=\angle AEC. \]

Так как \(CE\parallel BD\), из равенства углов получаем: \[ \angle CAD=\angle BDA. \]

Теперь треугольники \(ACD\) и \(DBA\):

• \(AC=BD\);
• \(AD=DA\);
• \(\angle CAD=\angle BDA\).

По двум сторонам и углу между ними они равны, следовательно: \[ CD=AB. \]

То есть боковые стороны трапеции равны. Значит, трапеция равнобедренная.