Реши задание на изображении
Краткий ответ: \(220\).
Решение по шагам
Дано: \[ 5\sqrt{11}\cdot 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{22} \]
Перемножаем числовые множители отдельно, а корни — отдельно: \[ (5\cdot 2)\cdot\left(\sqrt{11}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{22}\right) =10\cdot\sqrt{11\cdot 2\cdot 22} \]
Считаем подкоренное произведение: \[ 11\cdot 2\cdot 22 = 22\cdot 22 = 22^2 \] Поэтому \[ 10\cdot\sqrt{22^2}=10\cdot 22 \]
Получаем ответ: \[ 10\cdot 22=220 \]
Почему так можно делать
Используются два свойства: \[ \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\qquad (a,b\ge 0), \qquad \sqrt{a^2}=a\ (a\ge 0). \] Множитель перед корнем — это обычное число, его просто перемножают с другими такими же множителями, а корни «складывают» под один знак корня. Если под корнем получился полный квадрат, корень извлекается точно.
Проверка другим способом
\[ 5\sqrt{11}\cdot 2\sqrt{2}=10\sqrt{22} \] (так как \(\sqrt{11}\cdot\sqrt2=\sqrt{22}\)). Тогда \[ 10\sqrt{22}\cdot\sqrt{22}=10\cdot 22=220. \] Результат совпал: \(\boxed{220}\).
