Да, покажу по клеточкам — начертишь точно.

Важно: 1 клетка = 1 единица. Точки сначала ставь карандашом, потом соединяй плавной U-образной линией, не ломаной.

1) График \(y=2x^2\)

Вершина: \((0;0)\) — в начале координат.
От вершины: вправо/влево на 1 клетку — вверх на 2; на 2 клетки — вверх на 8.

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	8	2	0	2	8

Поставь эти 5 точек и проведи плавную «узкую» параболу.

2) График \(y=\frac14x^2+2\)

Вершина: \((0;2)\) — поднимись от начала координат на 2 клетки вверх.
От вершины: вправо/влево на 2 клетки — вверх на 1; на 4 клетки — вверх на 4.

\(x\)	\(-4\)	\(-2\)	\(0\)	\(2\)	\(4\)
\(y\)	6	3	2	3	6

Это будет более широкая парабола, чем \(y=x^2\), и она поднята на 2 клетки вверх.

3) График \(y=x^2-2x+1=(x-1)^2\)

Вершина: \((1;0)\) — то есть 1 клетка вправо от начала координат, по оси \(y\) не поднимаемся.

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	4	1	0	1	4

Можно чертить прямо от вершины \((1;0)\):

• влево/вправо на 1 клетку — вверх на 1;
• на 2 клетки — вверх на 4;
• если хватит места, на 3 клетки — вверх на 9.

Получится обычная парабола, сдвинутая вправо на 1 клетку.

Схематично:

y=2x²          y=¼x²+2         y=(x−1)²
 \   /           \    /            \   /
  \ /             \  /              \ /
   V               V                V
(0;0)           (0;2)             (1;0)
узкая           широкая          сдвинута вправо

Ось симметрии у первых двух графиков — прямая \(x=0\), у третьего — \(x=1\).

Вот чистое оформление для тетради — без картинок и без указаний, что чертить.

Задание 2

а) \(y=2x^2\)

Вершина: \((0;0)\). Ось симметрии: \(x=0\). Ветви направлены вверх.

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y\)	\(8\)	\(2\)	\(0\)	\(2\)	\(8\)

б) \(y=\dfrac14x^2+2\)

Вершина: \((0;2)\). Ось симметрии: \(x=0\). Ветви направлены вверх.

\(x\)	\(-4\)	\(-2\)	\(0\)	\(2\)	\(4\)
\(y\)	\(6\)	\(3\)	\(2\)	\(3\)	\(6\)

Задание 3

\[ y=x^2-2x+1=(x-1)^2 \]

Вершина: \((1;0)\). Ось симметрии: \(x=1\). Ветви направлены вверх.

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(4\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)

1) При \(x=-0{,}5\):

\[ y=(-0{,}5-1)^2=(-1{,}5)^2=2{,}25 \]

Ответ: \(y=2{,}25\).

2) При \(y=-2\):

\[ (x-1)^2=-2 \]

Корней нет, так как квадрат числа неотрицателен.

Ответ: таких значений \(x\) нет.

3) Нули функции:

\[ (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1 \]

Ответ: \(x=1\).

4) Так как \((x-1)^2\ge 0\), то:

\[ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty) \]

\[ y<0 \text{ ни при каких } x \]

Ответ: \(y>0\) при \(x\ne 1\); \(y<0\) — нет таких \(x\).

Записывай так:

Задание 2

1) \(y=2x^2\)

Вершина: \((0;0)\).
Точки:

\[ (-2;8),\ (-1;2),\ (0;0),\ (1;2),\ (2;8) \]

Ветви направлены вверх.

2) \(y=\dfrac14x^2+2\)

Вершина: \((0;2)\).
Точки:

\[ (-4;6),\ (-2;3),\ (0;2),\ (2;3),\ (4;6) \]

Ветви направлены вверх.

---

Задание 3

\[ y=x^2-2x+1=(x-1)^2 \]

Вершина: \((1;0)\).
Точки:

\[ (-1;4),\ (0;1),\ (1;0),\ (2;1),\ (3;4) \]

Ветви направлены вверх.

1) При \(x=-0{,}5\):

\[ y=(-0{,}5-1)^2=(-1{,}5)^2=2{,}25 \]

Ответ: \(2{,}25\).

2) При \(y=-2\):

\[ (x-1)^2=-2 \]

Решений нет.

3) Нули функции:

\[ x=1 \]

4) Промежутки знакопостоянства:

\[ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty) \]

\[ y<0 \text{ не существует} \]

Понял, оформляю по вашему образцу: через вершину, \(D\), пересечения с осями и таблицу.

Задание 2

1) \(y=2x^2\)

Ветви вверх \((a>0)\).

Вершина:

\[ x_0=\frac{-b}{2a}=0,\qquad y_0=0 \]

\[ \text{В.п. }(0;0) \]

Пересечения с осями:

\[ Ox:(0;0),\qquad Oy:(0;0) \]

Таблица:

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 \end{array} \]

\[ y_{\min}=0,\qquad y_{\max}\text{ нет} \]

---

2) \(y=\dfrac14x^2+2\)

Ветви вверх \((a>0)\).

Вершина:

\[ x_0=0,\qquad y_0=2 \]

\[ \text{В.п. }(0;2) \]

Пересечения с осями:

\[ Ox:\text{ нет} \]

так как \(\dfrac14x^2+2=0\) не имеет корней.

\[ Oy:(0;2) \]

Таблица:

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -2 & 0 & 2 & 4\\ \hline y & 6 & 3 & 2 & 3 & 6 \end{array} \]

\[ y_{\min}=2,\qquad y_{\max}\text{ нет} \]

---

Задание 3

\[ y=x^2-2x+1 \]

Ветви вверх \((a>0)\).

Вершина:

\[ x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=1 \]

\[ y_0=1^2-2\cdot1+1=0 \]

\[ \text{В.п. }(1;0) \]

Пересечение с \(Ox\):

\[ x^2-2x+1=0 \]

\[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=0 \]

\[ x=1 \]

\[ Ox:(1;0) \]

Пересечение с \(Oy\):

\[ Oy:(0;1) \]

Таблица:

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \end{array} \]

\[ y_{\min}=0,\qquad y_{\max}\text{ нет} \]

Ответы на вопросы

1) При \(x=-0{,}5\):

\[ y=(-0{,}5)^2-2\cdot(-0{,}5)+1=0{,}25+1+1=2{,}25 \]

Ответ: \(2{,}25\).

2) При \(y=-2\):

\[ x^2-2x+1=-2 \]

\[ x^2-2x+3=0 \]

\[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8<0 \]

Корней нет.

Ответ: таких \(x\) нет.

3) Нули функции:

\[ y=0 \]

\[ x^2-2x+1=0 \]

\[ x=1 \]

Ответ: \(x=1\).

4) Так как ветви вверх и вершина лежит на оси \(Ox\) в точке \((1;0)\), то:

\[ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty) \]

\[ y<0 \text{ не существует} \]

Ответ:
\(y>0\) при \(x\ne1\);
\(y<0\) — нет таких значений \(x\).

Вот полное решение — с каждой подстановкой, чтобы учитель видел, откуда берётся каждое число.

Задание 2

1) \(y=2x^2\)

Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).

Коэффициент \(a=2>0\), значит ветви направлены вверх.

Вершина:

\[ x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{0}{2\cdot 2}=0 \]

\[ y_0=2\cdot 0^2=0 \]

\[ B(0;0) \]

Ось симметрии — прямая \(x=0\) (ось \(Oy\)).

Пересечение с \(Ox\):

\[ 2x^2=0 \Rightarrow x=0 \]

\[ (0;0) \]

Пересечение с \(Oy\):

\[ y(0)=0 \]

\[ (0;0) \]

Таблица:

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & 18 & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 & 18 \end{array} \]

Проверка: \(2\cdot(-2)^2=2\cdot4=8\); \(2\cdot(-3)^2=2\cdot9=18\).

Свойства:

\[ y_{\min}=0 \text{ при } x=0,\qquad y_{\max}\text{ не существует} \]

\[ E(y)=[0;+\infty) \]

Функция убывает на \((-\infty;0]\) и возрастает на \([0;+\infty)\).

---

2) \(y=\dfrac14x^2+2\)

Область определения: \(D(y)=(-\infty;+\infty)\).

Коэффициент \(a=\dfrac14>0\), значит ветви направлены вверх.

Вершина:

\[ x_0=0 \]

\[ y_0=\frac14\cdot 0^2+2=2 \]

\[ B(0;2) \]

Ось симметрии — прямая \(x=0\).

Пересечение с \(Ox\):

\[ \frac14x^2+2=0 \]

\[ \frac14x^2=-2 \]

\[ x^2=-8 \]

Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому точек пересечения с осью \(Ox\) нет.

Пересечение с \(Oy\):

\[ y(0)=2 \]

\[ (0;2) \]

Таблица:

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & -8 & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 & 8\\ \hline y & 18 & 6 & 3 & 2 & 3 & 6 & 18 \end{array} \]

Проверка: \(\frac14\cdot(-4)^2+2=\frac14\cdot16+2=4+2=6\); \(\frac14\cdot(-2)^2+2=1+2=3\); \(\frac14\cdot(-8)^2+2=16+2=18\).

Свойства:

\[ y_{\min}=2 \text{ при } x=0,\qquad y_{\max}\text{ не существует} \]

\[ E(y)=[2;+\infty) \]

Функция убывает на \((-\infty;0]\) и возрастает на \([0;+\infty)\).

---

Задание 3

\[ y=x^2-2x+1 \]

Коэффициент \(a=1>0\), значит ветви направлены вверх.

Вершина:

\[ x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1 \]

\[ y_0=1^2-2\cdot1+1=1-2+1=0 \]

\[ B(1;0) \]

Ось симметрии — прямая \(x=1\).

Пересечение с \(Ox\):

\[ x^2-2x+1=0 \]

\[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0 \]

\[ x=\frac{2}{2}=1 \]

\[ (1;0) \]

Так как \(D=0\), парабола касается оси \(Ox\) в точке \((1;0)\).

Пересечение с \(Oy\):

\[ y(0)=0^2-2\cdot0+1=1 \]

\[ (0;1) \]

Таблица:

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 \end{array} \]

Проверка: \((-2)^2-2\cdot(-2)+1=4+4+1=9\); \(3^2-2\cdot3+1=9-6+1=4\).

Свойства:

\[ y_{\min}=0 \text{ при } x=1,\qquad y_{\max}\text{ не существует} \]

\[ E(y)=[0;+\infty) \]

Функция убывает на \((-\infty;1]\) и возрастает на \([1;+\infty)\).

---

1) Найти \(y\), если \(x=-0{,}5\)

Подставляем в формулу:

\[ y=(-0{,}5)^2-2\cdot(-0{,}5)+1 \]

\[ y=0{,}25+1+1 \]

\[ y=2{,}25 \]

Ответ: \(y=2{,}25\).

По графику: точка \((-0{,}5;\,2{,}25)\).

---

2) Найти \(x\), если \(y=-2\)

\[ x^2-2x+1=-2 \]

\[ x^2-2x+1+2=0 \]

\[ x^2-2x+3=0 \]

\[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8 \]

\[ D<0 \]

Корней нет.

Это видно и по свойствам функции: \(y_{\min}=0\), а \(-2<0\), значит график не проходит через точки с \(y=-2\).

Ответ: таких значений \(x\) нет.

---

3) Нули функции

\[ y=0 \]

\[ x^2-2x+1=0 \]

\[ D=4-4=0 \]

\[ x=1 \]

Ответ: \(x=1\) (единственный нуль функции).

---

4) Промежутки, где \(y>0\) и \(y<0\)

Так как

\[ y=(x-1)^2 \ge 0, \]

то функция не принимает отрицательных значений.

\[ y=0 \text{ только при } x=1 \]

\[ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty) \]

\[ y<0 \text{ не существует} \]

Ответ: \(y>0\) при \(x\ne 1\); \(y<0\) — нет таких значений \(x\).

---

Если в вашем образце в таблице берут другие точки (например, \(x=\pm6\)), просто подставь их в ту же формулу: для \(y=2x^2\) умножаешь квадрат на \(2\), для \(y=\frac14x^2+2\) делишь квадрат на \(4\) и прибавляешь \(2\).

Пиши только это.

Задание 2

1) \(y=2x^2\)

Ветви вверх, т.к. \(a=2>0\).

\[ x_0=\frac{-b}{2a}=0,\quad y_0=0,\quad B(0;0) \]

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\\ \hline y & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 \end{array} \]

\[ y_{\min}=0,\quad y_{\max}\text{ — нет} \]

2) \(y=\dfrac14x^2+2\)

Ветви вверх, т.к. \(a=\dfrac14>0\).

\[ x_0=0,\quad y_0=2,\quad B(0;2) \]

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -4 & -2 & 0 & 2 & 4\\ \hline y & 6 & 3 & 2 & 3 & 6 \end{array} \]

\[ y_{\min}=2,\quad y_{\max}\text{ — нет} \]

Задание 3

\[ y=x^2-2x+1 \]

Ветви вверх, т.к. \(a=1>0\).

\[ x_0=\frac{2}{2}=1,\quad y_0=1-2+1=0,\quad B(1;0) \]

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \end{array} \]

\[ y_{\min}=0,\quad y_{\max}\text{ — нет} \]

1) \(x=-0{,}5\):

\[ y=(-0{,}5)^2-2\cdot(-0{,}5)+1=0{,}25+1+1=2{,}25 \]

Ответ: \(2{,}25\).

2) \(y=-2\):

\[ x^2-2x+1=-2 \]

\[ x^2-2x+3=0 \]

\[ D=4-12=-8<0 \]

Ответ: корней нет, таких \(x\) не существует.

3) \(y=0\):

\[ x^2-2x+1=0 \]

\[ D=0,\quad x=1 \]

Ответ: \(x=1\).

4) \(y=(x-1)^2\ge0\), значит:

\[ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty) \]

\[ y<0 \text{ — нет} \]

Задание 2.

1. \(y=2x^2\)

Ветви вверх.

\[ x_0=\frac{-b}{2a}=0 \]

\[ y_0=0 \]

\[ \text{В.п. }(0;0) \]

Ось симметрии: \(x=0\).

С \(Ox\): \((0;0)\).

С \(Oy\): \((0;0)\).

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & 18 & 8 & 2 & 0 & 2 & 8 & 18 \end{array} \]

\[ y_{\min}=0;\qquad y_{\max}\text{ — нет.} \]

2. \(y=\dfrac14x^2+2\)

Ветви вверх.

\[ x_0=0 \]

\[ y_0=2 \]

\[ \text{В.п. }(0;2) \]

Ось симметрии: \(x=0\).

С \(Ox\): нет, так как

\[ \frac14x^2+2=0 \]

\[ x^2=-8 \]

корней нет.

С \(Oy\): \((0;2)\).

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & -8 & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 & 8\\ \hline y & 18 & 6 & 3 & 2 & 3 & 6 & 18 \end{array} \]

\[ y_{\min}=2;\qquad y_{\max}\text{ — нет.} \]

Задание 3.

\[ y=x^2-2x+1=(x-1)^2 \]

Ветви вверх.

\[ x_0=\frac{2}{2}=1 \]

\[ y_0=1-2+1=0 \]

\[ \text{В.п. }(1;0) \]

Ось симметрии: \(x=1\).

С \(Ox\):

\[ x^2-2x+1=0 \]

\[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot1=0 \]

\[ x=1 \]

\[ (1;0) \]

С \(Oy\): \((0;1)\).

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline y & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 \end{array} \]

\[ y_{\min}=0;\qquad y_{\max}\text{ — нет.} \]

\[ x=-0{,}5 \]

\[ y=(-0{,}5)^2-2\cdot(-0{,}5)+1 \]

\[ y=0{,}25+1+1=2{,}25 \]

Ответ: \(2{,}25\).

\[ y=-2 \]

\[ x^2-2x+1=-2 \]

\[ x^2-2x+3=0 \]

\[ D=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8 \]

\[ D<0 \]

Ответ: корней нет.

\[ y=0 \]

\[ x^2-2x+1=0 \]

\[ D=0 \]

\[ x=1 \]

Ответ: \(x=1\).

\[ y>0:\quad x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty) \]

\[ y<0:\quad \text{нет.} \]