Решение

Краткие ответы

1. Вычислить:
а) \(-2\); б) \(1\); в) \(36\).

2. Уравнения:
а) \(x=21\); б) \(x=3\); в) \(x=1\).

3. Неравенства:
а) \(x\in[4;+\infty)\);
б) \(x\in\left(\frac54;2\right]\).

---

1. Вычисления

а) \(\log_3 4-\log_3 36\)

Используем свойство разности логарифмов:

\[ \log_3 4-\log_3 36=\log_3\frac{4}{36} =\log_3\frac19=-2. \]

б) \(\log_2 18+\log_2\frac{25}{9}+\log_2\frac1{25}\)

Сумма логарифмов — это логарифм произведения:

\[ \log_2\left(18\cdot\frac{25}{9}\cdot\frac1{25}\right) =\log_2\frac{18}{9} =\log_2 2=1. \]

в) \(7^{\log_7 36}\)

Основное логарифмическое тождество:

\[ a^{\log_a b}=b, \]

поэтому:

\[ 7^{\log_7 36}=36. \]

---

2. Уравнения

а) \(\log_5(x+4)=\log_5 25\)

Так как основания логарифмов одинаковые, аргументы равны:

\[ x+4=25, \]

\[ x=21. \]

Проверка: \(x+4=25>0\), значит корень подходит.

Ответ: \(21\).

---

б) \(\log_2(x+2)=\log_2(x^2+x-7)\)

Нужно, чтобы оба выражения были положительными. Приравниваем аргументы:

\[ x+2=x^2+x-7. \]

Упростим:

\[ x+2-x^2-x+7=0, \]

\[ -x^2+9=0, \]

\[ x^2=9, \]

\[ x=3 \quad \text{или} \quad x=-3. \]

Проверяем:

• при \(x=3\): \(x+2=5>0\), подходит;
• при \(x=-3\): \(x+2=-1<0\), логарифм не существует.

Значит, остаётся только \(x=3\).

Ответ: \(3\).

---

в) \(\log_{1/3}(2x+1)=-1\)

По определению логарифма:

\[ 2x+1=\left(\frac13\right)^{-1}. \]

Так как

\[ \left(\frac13\right)^{-1}=3, \]

получаем:

\[ 2x+1=3, \]

\[ 2x=2, \]

\[ x=1. \]

Проверка: \(2\cdot1+1=3>0\), всё верно.

Ответ: \(1\).

---

3. Неравенства

а) \(\log_{1/3}(3x-1)\le \log_{1/3}(2x+3)\)

Сначала выпишем область допустимых значений:

\[ 3x-1>0,\qquad 2x+3>0. \]

То есть:

\[ x>\frac13,\qquad x>-\frac32. \]

Значит,

\[ x>\frac13. \]

Основание логарифма \(\frac13<1\), поэтому функция \(\log_{1/3}t\) убывает. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

\[ 3x-1\ge 2x+3. \]

\[ x\ge 4. \]

Этот промежуток полностью входит в область \(x>\frac13\), поэтому:

\[ x\in[4;+\infty). \]

Ответ: \([4;+\infty)\).

---

б) \(\log_3(4x-5)\le 1\)

Область допустимых значений:

\[ 4x-5>0, \]

\[ x>\frac54. \]

Так как основание \(3>1\), логарифмическая функция возрастает, значит знак неравенства сохраняется:

\[ 4x-5\le 3^1=3. \]

\[ 4x\le 8, \]

\[ x\le 2. \]

Объединяем с областью:

\[ \frac54<x\le 2. \]

Ответ: \(\left(\frac54;2\right]\).

---

Главный принцип

Для логарифмов одинакового основания:

• если \(a>1\), то
  \[ \log_a A\le \log_a B \Longleftrightarrow 0<A\le B; \]

• если \(0<a<1\), то
  \[ \log_a A\le \log_a B \Longleftrightarrow A\ge B>0. \]

И всегда сначала нужно проверять, что аргументы логарифмов положительны.