Вычислите 2x² − 5x + 2=0 полное решение

На фото — та же работа. Решения всех пунктов:

№1

а) \(2x^2-5x+2=0\) \[ D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9 \] \[ x_{1,2}=\frac{5\pm3}{4} \] \[ x_1=2,\quad x_2=\frac12 \]

Ответ: \(\frac12;\ 2\).

б)
\[ \frac{x}{x-3}-\frac{2}{x+3}=\frac{18}{x^2-9} \] ОДЗ: \(x\ne\pm3\). Так как \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), умножим на него: \[ x(x+3)-2(x-3)=18 \] \[ x^2+3x-2x+6=18 \] \[ x^2+x-12=0 \] \[ (x+4)(x-3)=0 \] Корень \(x=3\) не входит в ОДЗ.

Ответ: \(-4\).

в)
\[ x^4-13x^2+36=0 \] Пусть \(t=x^2\), \(t\ge0\): \[ t^2-13t+36=0 \] \[ t_1=4,\quad t_2=9 \] Тогда: \[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \] \[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3 \]

Ответ: \(-3;\ -2;\ 2;\ 3\).

№2. Метод Крамера

а) \[ \begin{cases} 5x-3y=1\\ 2x+y=7 \end{cases} \] \[ \Delta=5\cdot1-(-3)\cdot2=11 \] \[ \Delta_x=1\cdot1-(-3)\cdot7=22,\qquad \Delta_y=5\cdot7-1\cdot2=33 \] \[ x=\frac{22}{11}=2,\qquad y=\frac{33}{11}=3 \]

Ответ: \((2;3)\).

б) \[ \begin{cases} 4x+3y=18\\ 2x-y=4 \end{cases} \] \[ \Delta=4\cdot(-1)-3\cdot2=-10 \] \[ \Delta_x=18\cdot(-1)-3\cdot4=-30 \] \[ \Delta_y=4\cdot4-18\cdot2=-20 \] \[ x=\frac{-30}{-10}=3,\qquad y=\frac{-20}{-10}=2 \]

Ответ: \((3;2)\).

№3. Исследовать системы

а) \[ \begin{cases} 2x+4y=8\\ x+2y=5 \end{cases} \] Первое уравнение после деления на 2: \[ x+2y=4 \] Получаем: \[ x+2y=4,\qquad x+2y=5 \] Это противоречие — прямые параллельны.

Ответ: решений нет.

б) \[ \begin{cases} 3x-6y=12\\ -x+2y=-4 \end{cases} \] После преобразований оба уравнения дают: \[ x-2y=4 \] То есть уравнения равносильны — прямые совпадают.

Ответ: бесконечно много решений: \[ x=4+2y,\quad y\in\mathbb R. \]