реши подчеркнутый пример

Краткий ответ

Подчёркнуто уравнение: \[ (x^2+x)^2-5(x^2+x)+6=0. \] Его корни: \[ x_1=1,\quad x_2=-2,\quad x_3=\frac{-1+\sqrt{13}}{2},\quad x_4=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}. \]

Как решать

1. Замечаем, что выражение \(x^2+x\) повторяется. Вводим замену: \[ t=x^2+x. \]
2. Тогда уравнение становится квадратным относительно \(t\): \[ t^2-5t+6=0. \]
3. Раскладываем на множители: \[ (t-2)(t-3)=0, \] поэтому \[ t=2 \quad \text{или} \quad t=3. \]
4. Возвращаемся к \(x\).

Случай 1: \[ x^2+x=2 \] \[ x^2+x-2=0 \] \[ (x-1)(x+2)=0, \] значит \[ x=1 \quad \text{или} \quad x=-2. \]

Случай 2: \[ x^2+x=3 \] \[ x^2+x-3=0 \] \[ D=1+12=13, \] \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}. \]

Проверка

Для \(x=1\) и \(x=-2\): \[ x^2+x=2, \] тогда \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0. \] Для \(x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}2\): \[ x^2+x=3, \] тогда \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \] Всё верно.

Принцип: если в уравнении несколько раз встречается одно и то же выражение, его удобно обозначить новой буквой. После решения вспомогательного уравнения нужно обязательно вернуться к исходной переменной.