Реши задание на изображении
Ответ:
\[
x\in[1;\,2)\cup(2;\,+\infty),
\]
или короче:
\[
x\in[1;+\infty),\quad x\ne2.
\]
Как решать
Рассмотрим неравенство: \[ \frac{25^x-30\cdot5^x+125}{\log_7(0{,}25\cdot2^x)}\ge0. \]
1. Область допустимых значений.
Под знаком логарифма должно быть положительное число:
\[
0{,}25\cdot2^x>0
\]
— это верно при любом \(x\), так как \(2^x>0\).
Но знаменатель не может быть равен нулю: \[ \log_7(0{,}25\cdot2^x)\ne0. \] То есть \[ 0{,}25\cdot2^x\ne1. \] Так как \(0{,}25=2^{-2}\), получаем: \[ 2^{x-2}\ne1 \quad\Rightarrow\quad x\ne2. \]
2. Разложим числитель.
Заметим, что \(25^x=(5^x)^2\). Пусть \(t=5^x>0\). Тогда
\[
25^x-30\cdot5^x+125=t^2-30t+125.
\]
Разложим на множители:
\[
t^2-30t+125=(t-5)(t-25).
\]
Значит,
\[
25^x-30\cdot5^x+125=(5^x-5)(5^x-25).
\]
Нули числителя: \[ 5^x=5 \Rightarrow x=1, \] \[ 5^x=25 \Rightarrow x=2. \]
3. Знак знаменателя.
\[
0{,}25\cdot2^x=2^{-2}\cdot2^x=2^{x-2}.
\]
Поэтому
\[
\log_7(2^{x-2})>0 \iff x>2,
\]
\[
\log_7(2^{x-2})<0 \iff x<2.
\]
При \(x=2\) знаменатель равен нулю — точка выколотая.
4. Метод интервалов.
Числитель и знаменатель меняют знак в точках \(1\) и \(2\).
- При \(x<1\): числитель положителен, знаменатель отрицателен — дробь отрицательна.
- При \(x=1\): числитель равен нулю, знаменатель определён — дробь равна нулю, поэтому \(x=1\) подходит.
- При \(1<x<2\): числитель отрицателен, знаменатель отрицателен — дробь положительна.
- При \(x=2\): знаменатель равен нулю — точка не входит.
- При \(x>2\): числитель положителен, знаменатель положителен — дробь положительна.
Следовательно: \[ \boxed{x\in[1;2)\cup(2;+\infty)} \]
Проверка: при \(x=1\) дробь равна \(0\), при \(x=1{,}5\) и \(x=3\) она положительна — всё сходится.
Обсуждение
6 сообщенийкакое одз
Для неравенства
\[ \frac{25^x-30\cdot5^x+125}{\log_7(0{,}25\cdot2^x)}\ge 0 \]
ОДЗ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)} \]
то есть
\[ \boxed{x\in\mathbb R,\quad x\ne2.} \]
Почему:
Аргумент логарифма должен быть положительным: \[ 0{,}25\cdot2^x>0 \] Это выполняется при любом \(x\), так как \(2^x>0\).
Знаменатель не должен равняться нулю: \[ \log_7(0{,}25\cdot2^x)\ne0. \] Отсюда \[ 0{,}25\cdot2^x\ne1, \] \[ 2^{x-2}\ne1, \] \[ x-2\ne0, \] \[ x\ne2. \]
Значит, \(x=2\) выколотая точка, а все остальные действительные \(x\) входят в ОДЗ.
подробно
ОДЗ неравенства
\[ \frac{25^x-30\cdot5^x+125}{\log_7(0{,}25\cdot2^x)}\ge0 \]
состоит из всех \(x\), при которых выражение вообще имеет смысл.
1. Область определения логарифма
Для \(\log_7 A\) нужно:
\[ A>0. \]
В нашем случае:
\[ 0{,}25\cdot2^x>0. \]
Так как \(0{,}25=\frac14>0\), а показательная функция \(2^x>0\) при любом действительном \(x\), получаем:
\[ 0{,}25\cdot2^x>0 \]
при всех \(x\in\mathbb R\).
То есть сам аргумент логарифма положителен всегда, дополнительных ограничений здесь нет.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю
Дробь имеет смысл только тогда, когда её знаменатель не равен нулю:
\[ \log_7(0{,}25\cdot2^x)\ne0. \]
Логарифм равен нулю, когда его аргумент равен \(1\):
\[ 0{,}25\cdot2^x=1. \]
Решим:
\[ 0{,}25\cdot2^x=1, \]
\[ \frac14\cdot2^x=1, \]
\[ 2^x=4, \]
\[ 2^x=2^2, \]
\[ x=2. \]
Значит, при \(x=2\) знаменатель обращается в нуль, поэтому эта точка не входит в ОДЗ.
3. Итог
Все действительные числа подходят, кроме \(x=2\). Поэтому:
\[ \boxed{x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)} \]
или:
\[ \boxed{x\ne2.} \]
В ответе для неравенства получилось:
\[ \boxed{x\in[1;2)\cup(2;+\infty)}. \]
Здесь \(x=2\) выколотая точка именно из-за ОДЗ, а \(x=1\) входит, потому что числитель может быть равен нулю.
как мне записать числитель в одз
Числитель в ОДЗ не записывают — он не даёт никаких ограничений. Он определён при всех \(x\).
Для этого неравенства ОДЗ записывается так:
\[ \begin{cases} 0{,}25\cdot 2^x>0,\\[2mm] \log_7(0{,}25\cdot 2^x)\ne 0. \end{cases} \]
То есть:
\[ 0{,}25\cdot 2^x>0 \quad \text{— верно при всех }x; \]
\[ \log_7(0{,}25\cdot 2^x)\ne0 \ \Rightarrow\ 0{,}25\cdot2^x\ne1 \ \Rightarrow\ 2^{x-2}\ne1 \ \Rightarrow\ x\ne2. \]
Поэтому:
\[ \boxed{\text{ОДЗ: } x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)} \]
или короче:
\[ \boxed{x\ne2.} \]
Числитель \[ 25^x-30\cdot5^x+125 \] при всех \(x\) имеет смысл, поэтому в ОДЗ его писать не нужно. Его нули \(x=1\) и \(x=2\) находим отдельно при решении неравенства методом интервалов. При этом \(x=2\) всё равно исключается из-за знаменателя, а \(x=1\) может войти в ответ.
